水欧阳光明*创编2021.03.07水欧阳光明*创编2021.03.07第一讲分式方程(组)的解法欧阳光明(2021.03.07)分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点逬行有效的变形.变形时可能合扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.例1解方程解令y=x2+2x-8,那么原方程为去分母得y(y一15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0,y2—4xy—45x2=0,(y+5x)(y-9x)=0,所以丫=9火或丫=—5x.由y=9x得x2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以xl=-1,x2=8；由丫=—5x,得x2+2x—8=—5x,即x2+7x—8=0,所以x3=—8,x4=1.经检验，它们都是原方程的根.例2解方程r2+72a*—72h+ET8=0+72x-72x2+4x-18=0解设y=兽，贝U原方程可化为y+¥—i8=oy2—18y+72=0,所以yl=6或y2=12.当y=6时，三+6,x2+4x=6x-6,故x2-2x+6=0,此方程无实数根.当y=12时，U-12,x2+4x=12x—12,故x2—8x+12=0,故x2-8x+12=0,所以xl=2或x2=6.经检验，xl=2,x2=6是原方程的实数根.例3解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为]+丄_(3+—)+2--—=0x+1+3x+2x+2'整理得丄_—=0x+1x+2a2+3%+2'去分田、整理得x+9=0,x=—9.经检验知，x=-9是原方程的根.例4解方程土+出4+出.x+2x+7x+3x+6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简.原方程化为1-^—+1-—!—=1-—!—+i—x+2x+7x+3x+69即1_1(x+6)(x+7)(x+2)(x+3)9所以(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3).解得x=—善.经检验X=-|是原方程的根.例5解方程丄+丄+•••+—1—=11a(x-1)x(x+\)(x+9)(x+10)12•分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简.原方程变形为11111111——+——+.・・一一=x-lXAx+1x+9兀+1012’整理得去分母得x2+9x—22=0,解得xl=2,x2=-ll.经检验知，xl=2,x2=-11是原方程的根.例6解方程分析与解分式方程如比利式冷=7,且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简.原方程变形为(2.v*+3x+2)+(2f—3x—2)(2f—5x+3)+(2f+5x—3)2疋一3x-2=2/+5x-3，4x2_4x22x2-3x-2=2x2+5x-3f所以x=0或2x2-3x—2=2x2+5x-3•解得x=0或x=l经检验，x=0或x=|都是原方程的根.例7解方程分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只杲一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简.原方程变形为当殍0时，解得x=±l.经检验，x=±l杲原方程的根，且x=0也是原方程的根.说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.像"2以+十这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根.显然睜1时，Xl=a与x2=+就杲所求的根•例如,方程兀+£諾,即a+^=3+|»所以xl=3,x2=|.例8解方程解将原方程变形为匚F+[+1亠,f+1x*+x+132设严三彗，则原方程变为|-v+rl+l-解得必=|，〉‘2=匚・当桔H时，“半；当桔H时，x=i；经检验X=1及X=学均是原方程的根.例9解关于X的方程叱+土=2丄h+xa+x2°解设y=於，则原方程变为＞?4=24-所以yl=2或y2=*.由得xl=a-2b；由於冷，得x2=b-2a.将xl=a-2b或x2=b-2q代入分母b+x,得a-b或2(b-a),所以，当妙b时，xl=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根.当3=b时，原方程无解.例10如果方程水欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2—2x+(a+4)=0.①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，BD△=4-4・2(a+4)=0.解得a=-|.此时方程①的两个相等的根是xl=x2=^.(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一木艮使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2.⑴当x=0时，代入①式得a+4=0,即a=-4.这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0,x(x-l)=0,xl=0或x2=1.而xl=0是增根).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.(ii)当x=2时，代入①式，得2x4—2x2+(a+4)=0,即a=-8.这时方程①的另一个根杲x=—1(因为2x2-2x-4=0.(x—2)(x+l)=0,所以xl=2(增根)，x2=-1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的"的值分别杲2021.03.07水欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编-4,-8,其对应的原方程的根一次为「1,-1练习一1.填空:(1)方程*士的一个跟是10,则另一个跟島(2)如果方程芒二扫有等值异号的根，那么m(3)如果关于x的方程铝有增根x=l,则k⑷方程廿+吕斗的根是2.解方程3.解方程4.解方程x3+2x2+x疋+2十-5入・2A-3+2疋一2x2-x+1十•》-―人•f+x+lx-2x-+•332_+2x-2x-3•弘io3*欧阳光明*创编2021.03.07水欧阳光明*创编2021.03.075.解方程5（舌）-。（话詔）.6.解方程ax-9x+1a-8+=+x-2x-7x-1x-67.m是什么数值时，方程有根？
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