真空中的磁场

第四章真空中的磁场、基本要求1、确切理解磁感应强度的概念，明确磁感应强度的矢量性和迭加性；2、掌握毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律，并熟练地运用该定律来计算几何形状比较规则的载流导线所产生的磁场；3、掌握磁场的高斯定理和安培环路定理，并能熟练地运用安培环路定理来计算具有定对称性分布的磁场的磁感应强度；4、掌握洛仑兹公式和安培定律，掌握计算洛仑兹力、安培力（或磁力矩）的方法。、基本概念和规律磁感应强度磁场中某点的磁感应强度B的大小定义为B二Fmax/q°V，即在磁场中某点磁感应强度B的大小等于运动试验电荷在该点所受的最大的力Fmax与其所带电量qo和速度的乘积之比值，B的方向为置于该点的小磁针北极所指的方向。应该指出：1）磁感应强度B是描写磁场对运动电荷（或电流）施以作用力一磁场力的性质。它是表征磁场本身性质的物理量。B既与在该点上的运动试验电荷所带的电量和速度无关，又与该点上有无运动试验电荷无关。2）将磁感应强度和电场强度的定义进行比较，磁感应强度大小不能定义为运动试验电荷在磁场中所受的力与其所带电量和速度乘积之比值，否则B的大小不确定；同样，磁感应强度B的方向也不能定义为运动试验电荷所受磁场力的方向，不然，B的方向亦不确定。2、毕奥一萨伐尔一拉普拉定律真空中dB=J0Idlr4二r3应该指出：、亠丫亠一TTTTT1）注意电流元Idl、矢径r方向的规定，dB与Idl和r成右手定则关系。2）当Idl与r之间的夹角为零或n，贝UdB=0，亦即在电流元Idl延长线上各点,T电流元Idl并不产生磁场。3）磁感应强度的迭加原理载流导线在磁场中某点产生的磁感应强度等于该载流导线上各电流元在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即--0IdlrB=吟1°4二r34）运动电荷所产生的磁感应强度为°qVrtB34兀r3式中q为运动电荷所带的电量，V为其速度。若运动电荷为正电荷，q.0,B的方向与Vr的方向相同;若运动电荷为负电荷，q：：：0，B的方向与Vr的方向相反;5）毕一萨一拉定律只在稳恒电流情况下成立。它是根据大量实验事实进行理论分析的结果，不能从实验上直接加以证明，但由它所计算出的B与实验测定相符合，从而间接证明了它的正确性。它是电流产生磁场所遵循的基本规律，是稳恒磁场的理论基础。3、稳恒磁场的基本性质1）磁场的高斯定理F—#>IiBds=0…S即通过任意闭合曲面S的磁通量等于零。磁场的高斯定理说明磁场是无源场，磁感应线是闭合曲线。2）安培环路定理在真空中eLBdl=%n即磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的％倍。应该指出：a在环路定理^LBdl-*ili中，环路L上任一点的B应是空间中所有电流在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即它既包括环路L内的电流，又包括环路L外的电流共同产生的。而Zli只包括穿过环路L的电流。即是说环路L外的电流对B有贡献，而对B沿I的环流无贡献。b、必须注意电流I的正负规定。当穿过环路L的电流方向与环路I的绕行方向服从右手定则时，I>0，反之I<0。c、安培环路定理只对稳恒电流产生的稳恒磁场才成立。而对于有限长的载有稳恒电流的直导线不能用安培环路定理求磁感应强度，因稳恒电流一定是闭合的，而安培环路定理中的B应是闭合电路中全部电流产生的。d、无论环路L外面电流如何分布，只要环路L内没有包围电流，或者所包围电流强度的代数和为零，则^lB^\=0，但应当注意，B的环流为零，一般并不意味着环路L上各点的B都为零。e、安培环路定理说明磁场是非保守场，亦即是有旋场。4、磁场对运动电荷、载流导线（或载流线圈）的作用）磁场对运动电荷的作用运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力，由洛仑兹公式计算F=qVB式中q为运动电荷所带的电量，V是它的速度。洛仑兹力与库仑力是不同的。主要表现在：a洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力既作用于运动电荷，又作用于静止电荷；b、洛仑兹力总是垂直于运动电荷的速度，即F_V，所以洛仑兹力只改变运动电荷速度的方向，而不改变其速度的大小，故洛仑兹力对运动电荷不作功。而库仑力既可改变电荷速度的方向，又可改变其速度的大小，故库仑力对电荷要做功；c、洛仑兹力与B垂直，而库仑力与E平行。在均匀磁场中，带电粒子在洛仑兹力作用下作圆周运动的半径为R=mvqBv是与B相垂直的速度，带电粒子在均匀磁场中运动的回频共振频率1qBv=—=―!——T2-m它与粒子的速率及回旋半径无关。）磁场对载流导线的作用电流元IdI在磁场中所受到的安培力dF由安培定律计算dF=ldIB载流导线所受到的安培为F=.IdiBL在稳恒电流情况下，载流导线在磁场中运动时，磁力所作的功为A=|."-：:：J△①是闭合电流回路所包围面积内磁通量的增量。磁场对载流平面线圈的作用载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩为T—十M二PmB式中Pm二Nisn为载流平面线圈的磁矩。I是线圈中的电流强度，N是线圈的匝数，s为线圈每匝所包围的面积，n的方向与电流I的方向成右手定则关系。上式表明，对于任意形状的载流平面线圈（或闭合电路）在均匀磁场中所受合力为零（不考虑线圈变形），但受到一个力矩，这力矩总是力图使这线圈的磁矩Pm转到磁感应强度B的方向，当Pm与B的夹角时，线圈所受的力矩最大；当--0或二时，2线圈所受的力矩为零。当--0时，线圈处于稳定平衡状态；v-二时，线圈处于非稳定平衡状态。上式只对在同一平面上的任意形状的载流线圈在均匀磁场中成立。三、解题方法本章的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 分两个方面：一是稳恒电流所产生的磁场；二是磁场对电流（或运动电荷）的作用。虽然稳恒磁场与静电场的基本性质不同，但分析和处理问题的方法与静电场有很多相似之处。1、求磁场分布的方法已知电流分布，求磁感应强度的方法有两种。1）利用毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律和磁场的迭加原理求磁感应强度，即oId「rl4厂求B从原则上讲，在已知电流分布的情况下，可利用此种方法求任何载流导体所产生的磁场，因此，这是求B的一种普遍方法。这种方法还应包括利用已知的载流导体的磁感应强度公式和磁场的迭加原理求磁感应强度。例如将无限长的载流导线弯成几何形状比较规则的各种形状的载流导线（由若干段直线和圆弧组成），在求其它们所产生的磁场时，就是利用载流导线和圆形电流在其圆心处的磁感应强度公式和磁场的迭加原理求B。2）利用安培环路定理求磁感应强度利用安培环路定理求磁感应强度与用静电场的高斯定理求电场强度的方法相类似，其步骤如下：a、首先分析磁场分布的对称性，这是判断能否用安培环路定理求磁感应强度的关键。只有当磁场分布具有一定的对称性时，才能用安培环路定理求B，否则不能用。这并不意味着安培环路定理对非对称性磁场不适用，而是用它求不出B。这是因为安培环路定理只是反映了稳恒磁场性质的一个侧面（有旋场），它对磁场性质的描述是不完全的，只有在磁场分布具有高度对称性的情形下，才能根据这种不完全的描述来确定磁场的分布，在一般情况下，应当配合反映磁场性质的另一个侧面（无源场）的高斯定理，才能充分描述稳恒磁场，并由它们确定普遍情形下稳恒磁场的分布。b、若能用安培环路定理，则选取适当的闭合环路（又称安培环路）通过拟求B的场点，并规定安培环路的绕行方向。选取安培环路的原则是使B能从0LBdi中积分号内提出来，以便能算出B，通常选用的安培环路为圆周和矩形。C、分别计算所选取的安培环路B的环流和安培环路所包围的电流的代数和，应用安培环路定理求出B,并指出B的方向。2、磁场对电流、运动电荷的作用1）利用安培定律求磁场对载流导线的作用，即T■—F=IdlB-L其步骤如下：a根据问题的性质，选取适当的坐标系，首先求出在载流导线分布区域内B的分布。若题中已给出B的分布，则此步骤求B可省略。b、将载流导线分成无限多个电流元Idl，利用安培定律，写出某一电流元Idi（所在位置不能选得特殊）所受的安培力dF=IdiB，由右手定则确定dF的方向，然后根据所选择的坐标系将dF沿坐标轴进行正交分解，亦即将dF的矢量式用其分量式表示，以便把矢性函数的运算化成数性函数的运算。c、对电流元所受的安培力dF的诸分量分别积分，积分遍及整个载流导体。注意：应根据所选取的坐标系，载流导线的几何形状，电流I的方向，积分变量正确确定积分上、下限。载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩，由TM=PmB求之，皿'与6和B成右手定则关系2）磁场对运动电荷的作用利用络仑兹公式F-qVB求磁场对运动电荷所作用的磁力。3、常用例题公式1）载流直导线的磁场-IBJCos齐-Cos2）4兀r式中r为场点到直导线之垂直距离，3为始端电流元方向与其矢径方向之间的夹角。*为末端电流的方向与其矢径方向之间的夹角,B的方向由右手定则确定之。若载流直导线为无限长，即%I载流圆线圈轴线上的磁场B®R222、322(Rx)式中R为圆线圈的半径，x为轴线上的场点到圆线圈的圆心的距离。当x=0时，即在圆心处B-」ol2R载流长直螺线管内的磁场B="°nl式中n为单位长度的线圈匝数载流螺绕环内的磁场当螺绕环横截面积很小时，环的平均周长为I，则环内的磁感应强度,,NB=I=」onlI式中N为螺绕环的总匝数四、解题示例I，正方形的边长a-jG例1，将一根载流导线弯成如图所示的形状，已知导线中的电流为为a，圆的半径为R,求圆心0点的磁感应强度。解：利用载流直导线和载流圆线圈圆心处的磁感应强度公式和磁场迭加原理求圆心0点的磁感应强度。由于圆心以载流直导线载流圆弧0点在载流直导线AC之延长线上，所AC在0点产生的磁感应强度Bi=0。CDE在0点产生的磁感应强度B2是载□□□JJQ部一川流圆线圈中心磁感应强度亠的3，即2R4B_・0丨3_3%18R22R4B2的方向由右手定则可得，垂直于纸面向外。EF在0点产生的磁感由于圆心0点在载流直导线EF延长线上，所以载流直导线应强度B3=0。FG在0点产生的磁感应强度为:由载流直导线的磁感应强度公式可得载流直导线B40(CosCos)0424B4的方向垂直于纸面向外，同理可得载流直导线GA在0点产生的磁感应强度为B5J"（Cos黛「Cos二）=2®428二aB5的方向垂直于纸面向外，O点的磁感应强选取通过O点垂直于纸面向外为正方向，由磁场的迭加原理得圆心度为B咱b2b3b4B5二上J2"8RB的方向垂直于纸面向外。例2，两根长直导线沿半径方向接到一半径为r1的导电圆环上，其中圆弧AEC是铝导线，电阻率为；：1，圆弧ADC是铜导线，电阻率为6。两种导线截面相同，圆弧ADC■解：由磁场的迭加原理，圆心O点的磁感应强度是1由三段载流直导线CC；AA,AC•和两段载流圆弧AEC，的弧长是圆周长的1。直导线在很远处与电源相接，其上的电流强度为I，如图所示。求圆心O点处的磁感应强度。ADC在O点所产生的磁感应强度的迭加。因此先分别计算各段载流导线在O点的磁感应强度。由于O点在载流直导线CC和AA的延长线上，所以它们在圆心O点所产生的磁感应强度均为零。即Bcc=0Baa=0而载流直导线CA•距圆心O点无限远，所以，在O点所产生的磁感应强度Bca=0。Ji设载流圆弧AEC和ADC上的电流强度分别为I1和12（如图），弧长分别为L1和L2，L1=2二门-2"=2r1Ca—1）丄2=2口。利用载流圆线圈在圆心的磁感应强度公式可得载流圆弧AEC在O点所产生的磁感应强度Bi为（兀-1）2ri2二口2“B_Mp11Li»o11Bi的方向垂直于纸面向外同理可得载流圆弧ADC在O点所产生的磁感应强度B2为B-O12L2—-O12B2的方向垂直于纸面向里选取通过O点垂直于纸面向外为正方向，则O点之磁感应强度为（二—1）.1IIIIB二BccBca，BaaB!-B2訂！-B2二T）°2①2.「12：：.「［设圆环的横截面积为S,因圆弧AEC和ADC为并联，得Babbecdda⑤②③④I1+I2=I曰疋解：根据对称性分析，无限大平面的两侧与平面等距离之点的磁感应强度B的大小相等，方向相反，它们均平行于平面，且与电流方向垂直，方向如例3图a所示。现取图示矩形回路abed，ab、ed平行于平面，且与电流方向垂直，ab和ed到平面的距离相等，取回路的绕行方向沿abeda。Bdl=卫dl卫dl卫dl卫dl二BabBedL用ab二cd=1根据安培环路定理例3图例3图aBdl-2BL'L而3i=il联立求解①〜⑤式得口躺二1）勺讨论:1）因铜导线的电阻率「2小于铝导线的电阻率T，即订-几＜0，即B的方向与规定的正方向相反，即B的实际方向为垂直于纸面向里。2）若圆环由横截面积相同的同种材料导线制成，即心二「2，则圆心0点的磁感应强度由上式可得，B=0。例3，如图所示，一无限大的平面上有均匀分布的面电流，其面电流密度为i（在平面内垂直于电流方向上，单位长度上的电流强度，称为面电流密度）。求其在空间中所L?=2「i产生的磁感应强度的分布。11仔12W而L［二2r（二-1）2BL二％il•••B=•bi.2ACDE在同一平面内，分别载有电流11和a和b，它的AE边长与直导线的距离为例4，如图所示，长直导线和长方形线框12,电流方向如图所示。长方形线框边长分别为C,求每条边所受的力及线框所受的合力。然后用安培定律求各边所受的安培力及解：首先应求出在线框区域中的磁场分布,线框所受的合力。Il耳Da』AFiF4例4图选取如图所示坐标系，长直载流导线产生的磁感应强度小为：B-'OliBiBi的方向垂直纸面向内，大2x根据安培定律线框每边受力的方向如图所示。AC边所受的力的大小为严巴li%IiI2c+aFiU2dx二Oi2Ln—HYPERLINK\l"bookmark36"\o"CurrentDocument"C2二x2二c用同样的方法，可得DE边所受力的大小为olil2「caF3Ln2-cEA边上各点的磁感应强度大小相等，方向相同，因此,Olil2bF4_EA边所受力的大小为2氐同理可得CD边所受力的大小为F_"oIil2b22二(ca)因Fi和F3大小相等、方向相反，所以线框所受合力为F十4F2011軽2况(a+c)负号表示F的方向与x轴正向相反，即F的方向为水平向左。i斤\S例5图例5，一半径为R的半圆形闭合线圈载有电流I。线圈放在均匀外磁场B中，B的方向与线圈平面平行，如图所示。求此时线圈所受力矩的大小和方向；在这力矩作用下，线圈转-(即转到线圈平面与B垂2直)，求力矩所作的功。解：(1)线圈的磁矩Pm的方向垂直纸面向外，大小为PmJ二R2|2所以线圈所受的力矩M的大小为12M=PmBRIB2M的方向由PmB可知为铅直向上。(2)线圈转到…时，力矩所作的功为2,,,1212A二|.|(门2—GJ=1(RB—0)RIB