线性代数总结汇总经典例题

线性代数 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 汇总+经典例题线性代数 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 总结队列式（一）队列式观点和性质1、逆序数：全部的逆序的总数2、队列式定义：不一样行不一样列元素乘积代数和3、队列式性质：（用于化简队列式）1）队列交换（转置），队列式的值不变2）两行（列）交换，队列式变号（3）提公因式：队列式的某一行（列）的全部元素都乘以同一数k，等于用数乘此队列式4）拆列分派：队列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个队列式就等于两个队列式之和。5）一行（列）乘k加到另一行（列），队列式的值不变。6）两行成比率，队列式的值为0。（二）重要队列式4、上（下）三角（主对角线）队列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线队列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace睁开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙品德列式数学概括法证明★8、对角线的元素为a，其他元素为b的队列式的值：（三）按行（列）睁开9、按行睁开定理：1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于队列式的值2）队列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）队列式公式10、队列式七大公式：1）|kA|=kn|A|2）|AB|=|A|·|B|3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-16）若A的特点值λ1、λ2、λn，则7）若A与B相像，则|A|=|B|（五）克莱姆法例、克莱姆法例：1）非齐次线性方程组的系数队列式不为0，那么方程为独一解2）假如非齐次线性方程组无解或有两个不一样解，则它的系数队列式必为03）若齐次线性方程组的系数队列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；假如方程组有非零解，那么必有D=0。矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：1）矩阵乘法要求前列后行一致；2）矩阵乘法不知足交换律；（因式分解的公式对矩阵不合用，但若B=E,O,A-1，3）AB=O不可以推出A=O或B=O。2、转置的性质（5条）1）（A+B）T=AT+BT2）（kA）T=kAT3）（AB）T=BTAT4）|A|T=|A|5）（AT）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：-1AB=E或BA=E建立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)2）（AB）-1=B-1·A-1（3）|A-1|=|A|-14）（AT）-1=（A-1）T5）（A-1）-1=A5、逆的求法：1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：1）两行（列）交换；2）一行（列）乘非零常数c3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换获得的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行交换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0意味着全部元素为0，即A=O2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不行逆；3）r（A）=r（r=1、2、、n-1）←→r阶子式非零且全部r+1子式均为0。10、秩的性质：（7条）1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）2）r（A±B）≤r（A）±（B）3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}4）r（kA）=r（A）（k≠0）5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）TTT（6）r（A）=r（A）=r（AA）=r（AA）7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下边的元素均为0），则r（A）=非零行的行数（五）陪伴矩阵12、陪伴矩阵的性质：（8条）1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-12）（kA）*=kn-1A*3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-15）（AT）*=（A*）T6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-17）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法同样。14、分块矩阵求逆：向量（一）向量的观点及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2++anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1（二）线性组合和线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，，αs线性表示T(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，，αs）（x1，x2，，xs）=β有解。★(2)←→r（α1，α2，，αs）=r（α1，α2，，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的查验）6、线性表示的充分条件：（认识即可）若α1，α2，，αs线性没关，α1，α2，，αs，β线性有关，则β可由α1，α2，，αs线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，，αs线性没关，β可由其线性表示。（α1，α2，，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其他元素均为0（三）线性有关和线性没关8、线性有关注意事项：1）α线性有关←→α=02）α1，α2线性有关←→α1，α2成比率9、线性有关的充要条件：向量组α1，α2，，αs线性有关1）←→有个向量可由其他向量线性表示；2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（x1，x2，，xs）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，，αs）＜s即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，，αn线性有关（1）←→r（α1，α2，，αn）＜n（2）←→|α1，α2，，αn|=0（3）←→（α1，α2，，αn）不行逆10、线性有关的充分条件：1）向量组含有零向量或成比率的向量必有关2）部分有关，则整体有关3）高维有关，则低维有关4）以少表多，多必有关★推论：n+1个n维向量必定线性有关11、线性没关的充要条件向量组α1，α2，，αs线性没关1）←→随意愿量均不可以由其他向量线性表示；2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（x1，x2，，xs）T=0只有零解3）←→r（α1，α2，，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，，αn线性没关←→r（α1，α2，，αn）=n←→|α1，α2，，αn|≠0←→矩阵可逆12、线性没关的充分条件：1）整体没关，部分没关2）低维没关，高维没关3）正交的非零向量组线性没关4）不一样特点值的特点向量没关13、线性有关、线性没关判断（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性有关；若等于阶数，线性没关【专业知识增补】（1）在矩阵左侧乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右侧乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。2）若n维列向量α1，α2，α3线性没关，β1，β2，β3能够由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），进而线性没关。←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）极大线性没关组与向量组的秩14、极大线性没关组不独一15、向量组的秩:极大没关组中向量的个数成为向量组的秩对照：矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1，α2，，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，，αs）的秩相等★16、极大线性没关组的求法1）α1，α2，，αs为抽象的：定义法2）α1，α2，，αs为数字的：（α1，α2，，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量组成极大没关组（五）向量空间17、基（就是极大线性没关组）变换公式：若α1，α2，，αn与β1，β2，，βn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，，βn）=（α1，α2，，αn）Cn×n此中，C是从基α1，α2，，αn到β1，β2，，βn的过渡矩阵。-118、坐标变换公式：向量γ在基α1，α2，，αn与基β1，β2，，βn的坐标分别为x=（x1，x2，，xn）T，y=（y1，y2，，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2++xnαn=y1β1+y2β2++ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。此中，C是从基α1，α2，，αn到1，β2，，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，，αn）-1（β1，β2，，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性没关1）正交化令β1=α1（2）单位化线性方程组（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：一般形式矩阵形式：Ax=b；向量形式：A=（α1，α2，，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，，cn）T知足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判断与性质3、齐次方程组：1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-12）独一解←→r（A）=r（A|b）=n3）无量多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推行】（1）设η1，η2，，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2++ksηs为Ax=b的解（当Σki=1）Ax=0的解（当Σki=0）2）设η1，η2，，ηs是Ax=b的s个线性没关的解，则η2-η1，η3-η1，，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性没关的解。变式：①η1-η2，η3-η2，，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，，ηs-ηs-1（三）基础解系6、基础解系定义：1）ξ1，ξ2，，ξs是Ax=0的解2）ξ1，ξ2，，ξs线性有关3）Ax=0的全部解均可由其线性表示→基础解系即全部解的极大没关组注：基础解系不独一。随意n-r（A）个线性没关的解均可作为基础解系。★7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O1）B的列向量均为方程Ax=0的解2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性没关的解2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量获得基础解系（四）解的构造（通解）9、齐次线性方程组的通解（全部解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2++kn-rηn-r（此中k1，k2，，kn-r为随意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2++kn-rηn-r（此中k1，k2，，kn-r为随意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：假如α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论（需要掌握证明）1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）特点值与特点向量（一）矩阵的特点值与特点向量1、特点值、特点向量的定义：设A为n阶矩阵，假如存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特点值λ的特点向量。2、特点多项式、特点方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特点多项式（λ的n次多项式）。|λE-A|=0称为矩阵A的特点方程（λ的n次方程）。注:特点方程能够写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特点值λ=0的特点向量2）A的各行元素和为k，则(1，1，，1)T为特点值为k的特点向量。3）上（下）三角或主对角的矩阵的特点值为主对角线各元素。△4、总结：特点值与特点向量的求法1）A为抽象的：由定义或性质凑2）A为数字的：由特点方程法求解5、特点方程法：（1）解特点方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特点值λ1，λ2，，λn注：n次方程一定有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2==λs=实数，不可以省略)2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特点值λi的线性没关的特点向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）6、性质：1）不一样特点值的特点向量线性没关2）k重特点值最多k个线性没关的特点向量≤n-r（λiE-A）≤ki3）设A的特点值为λ1，λ2，，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σaii4）当r（A）=1，即A=αβT，此中α，β均为n维非零列向量，则A的特点值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2==λn=05）设α是矩阵A属于特点值λ的特点向量，则Af（A）AAP-1AP（相-1A*T似）λfλλ|A|λλ-1-1（λ）αα/ααP-1α（二）相像矩阵7、相像矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，假如存在可逆矩阵-1与B相像，记作P使得B=PAP，称AA~B8、相像矩阵的性质1）若A与B相像，则f（A）与f（B）相像2）若A与B相像，B与C相像，则A与C相像3）相像矩阵有同样的队列式、秩、特点多项式、特点方程、特点值、迹（即主对角线元素之和）【推行】4）若A与B相像，则AB与BA相像，AT与BT相像，A-1与B-1相像，A*与B*也相像（三）矩阵的相像对角化9、相像对角化定义：假如A与对角矩阵相像，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相像对角化。注：Aαi=λiαi（αi≠0，因为P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特点值λi的特点向量10、相像对角化的充要条件1）A有n个线性没关的特点向量2）A的k重特点值有k个线性没关的特点向量11、相像对角化的充分条件：1）A有n个不一样的特点值（不一样特点值的特点向量线性没关）2）A为实对称矩阵12、重要结论：1）若A可相像对角化，则r（A）为非零特点值的个数，n-r（A）为零特点值的个数2）若A不行相像对角化，r（A）不必定为非零特点值的个数（四）实对称矩阵13、性质1）特点值全为实数2）不一样特点值的特点向量正交3）A可相像对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ4）A可正交相像对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其标准形1、二次型：1）一般形式2）矩阵形式（常用）2、标准形：假如二次型只含平方项，即222f（x1，x2，，xn）=d1x1+d2x2++dnxn这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：经过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。此中，可逆线性变换及标准形经过先配方再换元获得。★（2）正交变换法：经过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ2221y1+λ2y2++λnyn此中，λ，λ，，λn是A的n个特点值，Q为A的正交矩阵12注:正交矩阵Q不独一，γi与λi对应即可。（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；2222称为二次型的规范形。规范形：f=z1+zp-zp+1--zp+q5、惯性定理：二次型不论选用如何的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。注：（1）因为正负惯性指数不变，所以规范形独一。2）p=正特点值的个数，q=负特点值的个数，p+q=非零特点值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵TC，使得B=CAC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系-1（1）A、B相像（B=PAP）←→同样的特点值T（2）A、B合同（B=CAC）←→同样的正负惯性指数←→同样的正负特点值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相像必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型xTAx，假如随意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵是正定矩阵。9、n元二次型xTAx正定充要条件：（1）A的正惯性指数为nT2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CC或CAC=E3）A的特点值均大于04）A的次序主子式均大于0（k阶次序主子式为前k行前k列的队列式）10、n元二次型xTAx正定必需条件：1）aii＞02）|A|＞011、总结：二次型xTAx正定判断（大题）1）A为数字：次序主子式均大于02）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特点值判断12、重要结论：1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定线性代数队列式经典例题例1计算元素为a=|i－j|的n阶队列式.ij解方法1由题设知，a11=0，a121，L,a1nn1,L，故01Ln1Dn10Ln2MOn1n2L0riri1in,n1,L,201Ln111L1MO11L1cjcnj1,L,n1n1nLLn102LL1MOOL(1)n12n2(n1)M0200L01此中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．01Ln1方法2Dn10Ln2MOn1n2L0riri1i1,2,L,n111L111L1MOn1n2L0cjc1j2,L,n10L012L0=(1)n12n2(n1)MOn12n3Ln1例2.设a,b,c是互异的实数,证明:的充要条件是a+b+c=0.证明:观察范德蒙队列式:=队列式即为y2前的系数.于是=所以的充要条件是a+b+c=0.例3x10K0n0x1K0计算D=MMMManan1an2Kxa1解：方法1递推法按第1列睁开，有1Dn=xDn1+（－1）n1anx1=xDn1+x1OOx1n1an因为D1=x+a1，D2x1，于是Dn=xDn1+an=xa2xa1（xDn2+an1）+an=x2Dn2+an1x+an==xn1D+L1a2xn2++an1x+an=xna1xn1Lan1xan方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，，第n列的xn1倍分别加到第1列上010K0cxc2x2x1K01Dn00xK0MMMManxan1an1an2Kxa1cx2c130100K00x10K0x30x1K0MMMMManxan1x2an2an1an2an3Kxa101x1按r睁开==nLL(1)n1fOO1fOx1x1=xnxa1xn1Lan1xanO1n1方法3利用性质，将队列式化为上三角队列式．1cx00K0c0x0K02x1c1c3x200xK0DnL1MMMMcncn1xanan1ananan1Kknxan2x2x按cn睁开xn1kn=xn1(xn1+anan1+xn2+a2+a1+x)x=anan1xLa1xn1xn方法4(1)n2an1+(1)2n(a110K00按r睁开x1K00Dnn(1)n1an+MMMM00Kx1x0K00x1K0001K00++(1)2n1a20xK00MMMMMMMM00Kx100K01x1K00x)0xK00MMMM00L0x=（－1）n1（－1）n1an+（－1）n2（－1）n2an1x++（－1）2n（1－1）a2xn2+（－1）2n(a1+x)xn1=anan1xLa1xn1xn例4．计算n阶队列式：a1b1a2LanDna1a2b2LanMMMa1a2Lanbn(b1b2Lbn0)解采纳升阶（或加边）法．该队列式的各行含有共同的元素a1,a2,L,an，可在保持原队列式值不变的状况下，增添一行一列，适入选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大批的零元素．1a1a2Lan1a1a2Lan0a1b1a2Lanr2r11b10L0升阶r3r1Dn0a1a2b2LanLrn1r110b2L0MMMMMMMM0a1a2Lanbn100Lbn1a1La1a1a2Lanb1b1c1c1bj1j0b10L0=j2,L,n100b2L0MMMM000Lbnb1b2Lbn(1a1Lan)b1bn这个题的特别情况是a1xa2Lana1a2xLan=xn1(xnDnai)MMMi1a1a2Lanx可作为公式记下来．例5．计算n阶“三对角”队列式0K001K00Dn=01＋K00MMMMM000K1解方法1递推法．00K00Dn按c1睁开()n1—1K00DMMMMM000K1(n1)按r1睁开n1－Dn2()D即有递推关系式Dn=()Dn1－Dn2(n3)故DnDn1＝(Dn1Dn2)递推获得DnDn1＝(Dn1Dn2)＝2(Dn2Dn3)＝L＝n2(D2D1)而D1()，D2＝α+βαβ＝22，代入得1α+βDnDn1nDnDn1n2.1）由递推公式得DnDn1n＝(Dn2n1)n＝α2Dn2＋n1n＝L＝n＋n1＋＋n1nn1n1β－α，当时＝β－ααβ，当＝时n1αβ(n1)α方法2把Dn按第1列拆成2个n阶队列式D0K00=11K00＋n0＋K00MMMMM000K10K001K0001K00MMMMM000K000K1上式右端第一个队列式等于αDn1，而第二个队列式0K001K0001K00ciaci1MMMMMi2,L,n000K000K1n00K0010K00=01K00MMMMM000K1于是得递推公式DnDn1n，已与（2.1）式同样．方法3在方法1中得递推公式Dn=()Dn1－Dn2又因为当时D1=22==(=233D21)22=D=0)-2()=(31301=(44)(22)=n1n1于是猜想Dn，下边用数学概括法证明．当n=1时，等式建立，假定当nk时建立．当n=k+1是，由递推公式得Dk1=()Dk－Dk1=k1k1()—kkk2k2=所以关于nN，等式都建立例6．计算n阶队列式：1a11L111a2L1DnMMM11L1an此中a1a2Lan0．解这道题有多种解法．方法1化为上三角队列式1a11L1a1cb1L1a1a2c1jrraja2i10Dni2,L,nMOj2,L,nMOa1an0an此中b1a1a1n1a11n1，于是Dna1a2Lan1n1．i2aii1aii1ai方法2升阶（或加边）法111L1111L1升阶01a11L11a10L0Lrir1LDn011a2110a20MMMi2,3,L,n1MMMMM011L1an100Lann111L11ajc1ci11ajj1a1a1a2Lann1j1,2,L,n1a21aii1Oan方法3递推法．将Dn改写为1a11L10Dn11a2L10MMM11L1an1a11L1按cn打开11a2L1MMM11L11a11L011a2L0MMM11Lan由1a11L1a111a2L1rirna2a1a2Lan1MMMi1,L,n111L111L11a11L011a2L0按cn睁开anDn1MMM11Lan+于所以Dn=anDn1a1a2Lan1为递推公式，而D11a1，于是Dn=anDn1a1a2Lan1=a1a2LanDn11a1a2Lan1an=a1a2LanDn211=LLa1a2Lan2an1an=a1a2LanD111=a1a2Lan111a1Lan1a2La2a1an