数学分析中证明不等式的常见方法

【标 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】数学分析中证明不等式的常见方法【作者】马元红【关键词】数学分析  不等式【指导老师】秦小二【专业】数学教育【正文】1引言不等式的证明是数学分析中比较常见且比较困难的问题，从上世纪开始，对数学分析中证明不等式的常见方法的总结、浅谈已有很多。本选题的目的是运用数学分析中函数的单调性、拉格拉日中值定理、柯西中值定理等证明不等式的方法的总结。     本课题不仅总结了数学分析中常见的证明不等式的方法、定理，并且还每种方法都配有相关的题，使以后解决相似题型时更简便、快速。     从上世纪开始，对数学分析中证明不等式的常见方法的总结、浅谈已有许多。例如：玉林师范学院的蒙诗德已总结了些数学分析中常见的不等式证明方法；赤峰学院的梁庭欢也研究了数分中的两个经典不等式的证明；乔建斌研究了 不等式的证明；JIANGBen-Yuan研究了关于 不等式；邱彦波研究了某些不等式的多种证明；邱秀环给出了利用微分知识证明了两个绝对值不等式；吴亚芬研究了数学分析在等式与不等式中的应用等等，但是至今还没有完整的关于数分中不等式证明方法的总结，这有待我们去总结归纳。经过一段时间查询上述文献，通过对这些文献的学习，我对数分又有了更深的认识，尤其是其中不等式的证明有了更深层次的理解。这些文献很好的说明了数分中等式证明的方法的多样性和灵活性，也见证了那些数学工作者的研究成果。2 正文2.1 函数单调性的应用利用单调函数性证明不等式是数学分析中最常见的一种方法。其理论依据就是函数单调性的定义，即在证明中常要用到的结论：如果函数 中可导，且 内严格减少（增加）。                                                例1证明：已知 都是正整数，且 求证：     证：设  ，则有 (0,+∞),即 在区间(0,+∞)上单调递增所以有结论 成立例2  试证，当     证  把所给不等式变形为  选取函数          又因 所以 f (x)在 上严格单调减少，于是            即                            2.2柯西中值定理的应用  定理6.5（柯西中值定理） 设函数 和 满足ⅰ在  上都连续,ⅱ在 内都可导,ⅲ   不同时为0,ⅳ  则至少存在 ∈ ，使得 例3  设函数 在  上连续，在 内可导，则存在 ∈ ,使得          证  设 ，显然它在区间 上与 一起满足柯西中值定理条件，于是存在 ，使得                 上式经整理后便得到          2.3拉格朗日中值定理的应用   定理6.2（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 若函数 满足如下条件：（1） 在闭区间 上连续；（2） 在开区间 内可导；则在 内至少存在一点 使得  例4    证明：        证明  设 ，则 在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此 ，使                                                   即            而当 时， ，所以                                           例5  证明不等式            证   设函数                在区间 满足拉格朗日中值定理的条件，因此，有      因   ， ，故有                                 2.4函数的极值与最值的应用   若函数 在区间 上有最小值 和最大值 ,则对任意的 ,都有 .例6 当 时，证明不等式 证明   把要证明的不等式改写为 .       设函数 则外面只要证明下面的不等式成立即可：                                   令 得驻点         因为         又因为                       例7  试证，当 时，      证    设 ，当 时，令   解得驻点x =0, 因为 ，从而       可见x =0是函数f (x) 的一个极小点，且又是最小点，故f (x)>f (0) =0, 亦即 在x =0时，等号成立，因此，       2.5   不等式的应用 例8 已知函数 是连续单调函数，且 证明：                                ：    证明: ,显然  当 时,  , 在 上严格单调减少; 当 时, 在 上严格单调增加;于是 仅在 取得最小值，从而成立不等式 ,即 , 在此不等式中取 ，并注意 ,即可导出成立不等式                                 ( ) 且等号成立当且仅当 ,即 .2.6 利用函数凹凸性证明不等式定义1设       总有                 则称 上的凸函数。反之，如果总有                                 则称 .例9  证明不等式 成立.证明  令      ，于是有      ，         于是 上的凸函数，即有                                                     即有               2.7 不等式的应用 定理      例10证明不等式 成立。证明   令                      于是 再由 不等式可得 成立。2.8利用定积分理论利用定积分理论证明不等式一般可以考虑用定积分的定义、性质、它的中值定理以及积分上限、下限函数等。例11  证明：若                            证明  不等式的左边可变形为               又由于 为递减函数，所以有                                          从而                                       成立，于是原不等式得证。例12                                                                       =                      =  2.9 利用重积分证明不等式  利用重积分的一些性质、定理也可是数分中证明不等式的常用方法   例13 设函数               ，           其；中     ；   证明：    证明  因为    所以 =                       因此2     令          则          ，故              所以    则有    即              2.10用条件极值证明不等式定义        成立不等式                     例14           证明：先求函数  在条件         设         解方程组                                                                      可得         将点                                 即知函数Z当 时的最小值为 ，从而有                         其中 所以所证不等式成立。2.11 泰勒公式的应用例15                            证明：先证             有题设，对             故有                          （1）            再证右边的不等式                           因为                                   因为                                        (2)             将 分别代入（2）式并相加得：                            （3）             将（3）的两边在 上积分，则                                         故                            （4）             由（1）和（4）知，不等式 成立.3总结 本文主要是在以前已有的基础上，再次总结在数学分析中证明不等式的常用方法。不等式的证明方法因题而异，变化多端，在数学分析学习中，只要多注意总结归纳，就一定可以能灵活利用各种方法证明不等式。