在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。问题1.十月国庆节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？问题2.同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？问题3.把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？问题4.一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？问题5.三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？课堂目标1.掌握容斥原理公式：（1）A∪B=A+B-A∩B；原理1：A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量。（2）A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。原理2：A或B或C的数量=A的数量+B的数量+C的数量-既是A又是B的数量-既是B又是C的数量-既是C又是A的数量+既是A又是B又是C的数量。2.运用容斥原理公式解决计数问题。例1.A班共有40人，同学们都喜欢打篮球或者打羽毛球。喜欢打篮球的有26人，喜欢打羽毛球的有24人，问两种球都喜欢的同学有多少人？解：26+24-40=10（人）原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量容斥原理1：例1.A班共有40人，同学们都喜欢打篮球或者打羽毛球。喜欢打篮球的有26人，喜欢打羽毛球的有24人，问两种球都喜欢的同学有多少人？解：原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量容斥原理1：练1.C班的同学都至少喜欢一项运动，有37人喜欢乒乓球，26人喜欢篮球，21人两种球都喜欢，问C班有多少人？练2.自然数1，2，3…，99，100当中，能被3整除或能被4整除的数共有几个？练3.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，语文竞赛的有120女生，80男生，总共参赛人数有260名，其中75名男生两科都参加了，问，只参加数学没参加语文的女生有多少？解：37+26-21=42（人）解：100÷3≈33，100÷4=25,100÷12≈8，33+25-8=50（个）解：两科都参加的人：（120+80）+（120+80）-260=140，两科都参加的女生：140-75=65，只参加数学的女生：80-65=15（人）练1.C班的同学都至少喜欢一项运动，有37人喜欢乒乓球，26人喜欢篮球，21人两种球都喜欢，问C班有多少人？练2.自然数1，2，3…，99，100当中，能被3整除或能被4整除的数共有几个？练3.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，语文竞赛的有120女生，80男生，总共参赛人数有260名，其中75名男生两科都参加了，问，只参加数学没参加语文的女生有多少？解：解：解：例2.某校六⑴班每人在暑假里都参加体育训练队，参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有3人，问，这个班有多少人？解：25+22+24-12-9-8+3=45（人）原理2：A或B或C的数量=A的数量+B的数量+C的数量-既是A又是B的数量-既是B又是C的数量-既是A又是C的数量+既是A又是B又是C的数量。容斥原理2：练1.四年级1班的期末考试每个人至少有一科满分，已知语文满分的有25人，数学满分的有21人，英语满分的有30人，语文数学都满分的有15人，语文英语都满分的有6人，数学英语都满分的有8人，三科都满分的有4人，问班里至少有一科满分的有多少人？解：25+21+30-15-6-8+4=51（人）练2.乐器班一共40人，每个人都至少会玩一样乐器，擅长吉他的有18人，擅长钢琴的有20人，擅长小提琴的有22人，吉他和钢琴都会的有9人，吉他和小提琴都会的有8人，钢琴和小提琴都会的有5人。问三样乐器都会的人有多少？解：40-（18+20+22-9-8-5）=2（人）练1.四年级1班的期末考试每个人至少有一科满分，已知语文满分的有25人，数学满分的有21人，英语满分的有30人，语文数学都满分的有15人，语文英语都满分的有6人，数学英语都满分的有8人，三科都满分的有4人，问班里至少有一科满分的有多少人？解：25+21+30-15-6-8+4=51（人）练2.乐器班一共40人，每个人都至少会玩一样乐器，擅长吉他的有18人，擅长钢琴的有20人，擅长小提琴的有22人，吉他和钢琴都会的有9人，吉他和小提琴都会的有8人，钢琴和小提琴都会的有5人。问三样乐器都会的人有多少？解：40-（18+20+22-9-8-5）=2（人）练3、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：单要冰棍、汽水、雪碧的；要其中两样的冰棍加汽水、汽水加雪碧、冰棍加雪碧；要三样的。练3、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人分析与解：单要冰棍、汽水、雪碧的；要其中两样的冰棍加汽水、汽水加雪碧、冰棍加雪碧；要三样的。
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