任何物体都是三维尺度的。杆的几何特征是横截面的尺度远小于杆的长度。
材料
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力学中研究了等截面直杆的三种基本变形模型：（1）轴向拉（压）杆；（2）自由扭转轴；（3）平面弯曲梁。三种模型都是将实体杆简化成数学意义上的“轴线”，杆的轴线由所有横截面的形心的连线构成。第一页，共32页。简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。第二页，共32页。以弹簧为例：弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡克定律，并且它们之间是线性关系，直线的斜率就是弹簧的刚度k:第三页，共32页。对于如图示的复杂的铰支杆系统，要确定在力的作用下，结点BCDE处的变形，以便计算出各杆件的内应力及各杆的轴向力，可以假设整个杆件系统具有和单根杆一样的刚度，不过此时的刚度应采用矩阵来表示，同样各点的位移及力都用矩阵表示。即：FEDCBA第四页，共32页。重点：式中[K]为多少阶？如何求出？求出[K]→节点处的位移→各杆的受力和应力。第五页，共32页。第二节弹簧系统的刚度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵12分别是作用在节点1和2上的位移和力第六页，共32页。弹簧的作用力向量为：弹簧的位移向量为：可以推断出弹簧的刚度矩阵是：2*2阶待定第七页，共32页。（1）只有结点1可以变形，节点2固定，此时有：AA1k第八页，共32页。（2）只有结点2可以变形，节点1固定，此时有：kBB1第九页，共32页。kBB1AA1(3)据迭加原理，结果为：第十页，共32页。第十一页，共32页。二、组合弹簧的刚度矩阵（推导自学）以系统有两个弹簧为例：步骤（1）写出每个弹簧单元的受力方程和单元刚度矩阵：第十二页，共32页。第十三页，共32页。对于具有n个节点的弹簧系统，由于每个节点只有一个可能的位移方向（即一个自由度）因此整个系统有n个自由度，相应的总纲矩阵应该是n*n阶。具体方法为：写出一个空的n*n阶矩阵，将单元刚度矩阵按单元节点号写到空阵中去。以两弹簧为例
说明
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，总刚度矩阵应是3*3阶，第一个单元的节点号为1和2，则单元刚度矩阵是：第十四页，共32页。中的元素在总刚度矩阵中应在的位置是第1行、第2行的第1列、第2列再将第二个单元（节点号为2和3）的刚度矩阵加到总刚度矩阵的第2行、第3行的第2列、第3列第十五页，共32页。第十六页，共32页。三、方程求解（约束条件的引入）刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式为0，矩阵的逆阵不存在，为使方程组有定解，需给系统加上一定的约束。第十七页，共32页。
总结
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：用有限元法求解弹簧系统的受力问题的基本步骤为：（1）形成每个单元刚度矩阵；（2）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加整个系统的刚度矩阵；（3）引入约束条件；（4）以节点位移为未知量求解线性方程组（5）用每个单元的力-位移关系求的单元力。第十八页，共32页。简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。第三节杆件系统的有限元法第十九页，共32页。杆横截面上的内力只有轴向力横截面上的应力只有均匀分布的正应力轴向应变为杆的伸长量为第二十页，共32页。对于简单的拉杆，同一截面上各点在x方向的位移u相同。如上图所示，杆A端受力，位移为；杆B端受力，位移。材料力学中力与变形的关系是：可以模仿前面的有限元方程写为如下的矩阵形式：第二十一页，共32页。实际上，杆件系统都是由互相成一定角度排列的杆件连接在一起，在处理这种结构的刚度矩阵时，不能根据每个杆件的单元坐标系统（称为局部坐标系），而必须依据对所有杆件的单元都适用的整体坐标系统。第二十二页，共32页。12φx(u)y(v)x(u)y(v)图2-9杆系单元的坐标系统整体坐标系下，位移和力的表示为：局部坐标系下，位移和力的表示为：第二十三页，共32页。注意：（1）图中的φ角是从整体坐标系x轴正向起逆时针转到杆件方向。（2）铰支连接的杆只能承受轴向力Fx和产生轴向位移u，因此局部坐标系下Fy=0,v=0。之所以要写出来，是因为轴向力和位移在整体坐标系中有两个分量，为方便计算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：第二十四页，共32页。可将上式由局部坐标系转到整体坐标系下：第二十五页，共32页。节点2处的表达式为：第二十六页，共32页。第二十七页，共32页。第二十八页，共32页。求解整体坐标系下结构受力与位移方程组：可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的受力，简单推导可得：第二十九页，共32页。二、刚阵存储与节点排列从单元刚阵叠加总体刚度矩阵的过程知，对于节点号为i和j的单元e，其单元刚度矩阵的16个元素在总体刚度矩阵的位置如下：2i-12i2j-12j2i-12i2j-12j行行列列第三十页，共32页。刚度矩阵的性质：（1）对称性——关于主对角线对称；（2）稀疏性——大量0元素；（3）带状分布——非0元素在主对角线两侧呈带状分布。所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方法是：找出所有各行中非0元素所占最宽一行，以离对角线最远的元素为基准画一条平行于主对角线的带子，称为其带宽，方法称为等带宽存储。由于对称性，带宽的一半称为半带宽。第三十一页，共32页。AB从A到B之间的元素个数叫做刚度矩阵的最大带宽，一半称为半带宽，而半带宽与单元节点号的编号差有关，编号差越大带宽越大，所以编号时尽可能使每个单元的节点编号差尽可能小，一般当一个构件较长时，应先顺着较窄方向编号，再沿较长向编第三十二页，共32页。
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