第五章第二节等差数列及其前n项和

第五章第二节等差数列及其前n项和一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝20，则a7＋a8＋a9＝(　　)A．63B．45C．36D．27解析：由S3＝9，S5＝20，得d＝1，a1＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝3×9＝27.答案：D2．(2012·西南大学附中模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于(　　)A．18B．36C．45D．60解析：∵{an}为等差数列，a2＋a8＝15－a5∴3a5＝15，即a5＝5.∴S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝45.答案：C3．在等差数列{an}中，an＜0，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，那么S10等于(　　)A．－9B．－11C．－13D．－15解析：由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5(a3＋a8)＝5×(－3)＝－15.答案：D4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为(　　)A．－2B．－3C．－4D．－6解析：an＝23＋(n－1)d，由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6＞0,a7＜0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(23＋5d＞0,23＋6d＜0))，解得－eq\f(23,5)＜d＜－eq\f(23,6)，又d为整数，所以d＝－4.答案：C5．(2011·大纲全国卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)A．8B．7C．6D．5解析：依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.答案：D6．(2011·四川高考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)A．0B．3C．8D．11解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝eq\f(12－－2,10－3)＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.答案：B二、填空题7．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：依题意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.答案：748．(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(1,6).又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－eq\f(1,6))]＋[1＋(4－1)×(－eq\f(1,6))]＝0.即k＝10.答案：109．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________.解析：由a1＋a6＝a2＋a5得a6＝11.则a5＋a6＋a7＝3a6＝33.答案：33三、解答题10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(2Sn＋48,n)，则数列{bn}的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋4d＝14,7a1＋21d＝70))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋3d＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝3.)).所以an＝3n－2.(2)Sn＝eq\f(n,2)[1＋(3n－2)]＝eq\f(3n2－n,2)所以bn＝eq\f(3n2－n＋48,n)＝3n＋eq\f(48,n)－1≥2eq\r(3n·\f(48,n))－1＝23.当且仅当3n＝eq\f(48,n)，即n＝4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.11．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解：(1)由题意知S6＝eq\f(－15,S5)＝－3，a6＝S6－S5.所以a6＝－3－5＝－8，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5,a1＋5d＝－8))，解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2aeq\o\al(2,1)＋9a1d＋10d2＋1＝0.两边同乘以8，得16aeq\o\al(2,1)＋72a1d＋80d2＋8＝0，化简得(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).12．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn满足关系式2Sn＝Sn－1－(eq\f(1,2))n－1＋2(n≥2，n为正整数)，a1＝eq\f(1,2).(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)在(1)的条件下，求Sn的取值范围．解：(1)由2Sn＝Sn－1－(eq\f(1,2))n－1＋2，得2Sn＋1＝Sn－(eq\f(1,2))n＋2，两式相减得2an＋1＝an＋(eq\f(1,2))n，上式两边同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故数列{bn}是等差数列，且公差为1，又因为b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n，因此2nan＝n，从而an＝n·(eq\f(1,2))n.(2)由于2Sn＝Sn－1－(eq\f(1,2))n－1＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－(eq\f(1,2))n－1，即Sn＋an＝2－(eq\f(1,2))n－1，Sn＝2－(eq\f(1,2))n－1－an，而an＝n·(eq\f(1,2))n，所以Sn＝2－(eq\f(1,2))n－1－n·(eq\f(1,2))n＝2－(n＋2)·(eq\f(1,2))n.所以Sn＋1＝2－(n＋3)·(eq\f(1,2))n＋1，且Sn＋1－Sn＝eq\f(n＋1,2n＋1)＞0，所以Sn≥S1＝eq\f(1,2)，又因为在Sn＝2－(n＋2)·(eq\f(1,2))n中，(n＋2)·(eq\f(1,2))n＞0，故Sn＜2，即Sn的取值范围是[eq\f(1,2)，2)