数值分析第二章2.当兀=1,72时，/(x)=0>-3,4,求/⑴的二次插值多项式。W：旺=1,兀］=_1,心=2,fM=0,/(册)=一3,/(“)=4;/,、(X-兀)(x7)1AM=——=-(x-l)(x-2)(不一勺)(州一吃)6/?(v)=(A-Xt()(A-A-)=l(x_1)(x+1)(x2-x0)(x2-Xj)3则二次拉格朗日插值多项式为2厶⑴近片厶⑴*-0=-3/0(x)+4/2(x)TOC\o"1-5"\h\z14=--(x-l)(x-2)+-(x-l)(x+1)5.37=—x"+-X-—6236•设®J=0丄…屮为互异节点，求证:》>篦(对三*伙=0丄…/);£(①一劝律(兀)三0伙=0,1,…,“);证明(1)令f(x)=xk若插值节点为®J=0,1,…,"，则函数/(%)的“次插值多项式为厶⑴=£*/©)°)=0f(叫插值余项为Rnw=/«-4(X)=J—+(x)5+1)!又•••k
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
，若用二次插值求护的近似值,要使截断误差不超过10"，问使用函敦表的步长h应取多少？解:若插值节点为心，兀和和，则分段二次插值多项式的插值余项为&（X）=£厂@）（x-和）（x-兀）（x-和）设步长为h,即=xi-h.xM=xj+h若截断误差不超过10",则I^Wl^io-6^/z^lO-627Ii<0.0065.9.若儿=2",求&儿及儿•，解：根据向前差分算子和中心差分算子的泄义进行求解。儿=2"A4yn=（E-l）4y,r4⑷=工(—1)丿.E^ynJ-O\J)(j)彳:卜TJ-0\JJJ-0=(2-D4y„=(E2)4(E-l)4y„==儿_2=2"-216.f(x)=x7+x4+3x+\,求尸［2°,2|,・..,2耳及。解：•/f(x)=x,+xA+3x+\若兀=2\i=0,1,…,8则/[%，州,…，兀]=•••/卜。,鬲'…'切="-7：)=命1/⑻@)~sT19.求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)=P(0)=0,P(l)=P(l)=0,P(2)=0解法一:利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式X。=0,A"|=1比=0,开=1m{)=0,m}=1丿-0T兔心(1-2二)(4)2=(l+2x)(x-l)2y(x)=(1_2三A)(匚邑f州一忑州一勺=(3-2x)x2/70(x)=x(x-l)2fi(x)=(x-l)x2・・・比(x)=(3-2x)x2+(x-l)x2=-F+2x2设P(x)=H3(X)+A(X_Xo)2(%_Xj2其中,A为待泄常数•・•P(2)=1・・・P(x)=-x3+2x2+Ax2(x-1)2.-.A=l4从而P(x)=-x\x-3)24解法二：采用牛顿插值，作均差表：/（旺）一阶均差二阶均差001-1/211021PM=p(xQ)+(x-xQ)/[x0,xj+(x-xo)(x-X])/[心,xlyx2]+(A+Bx)(x-x())(x_X])(x_x2)=0+x+x(x-1)(一1/2)+(A+Bx)x(x一l)(x-2),,A=~—B=—又由//(0)=0,/y⑴=1,得▲4'4，V2pM=—(x-3)^.所以4第四章确定下列求积
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
中的特定参数,使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：J：f(x)dx«AJ(-心+AJ(O)+A/W;⑵«A_j(-h)+A>/(0)+A/W；⑶(]/(兀“"[/(-1)+2/(旺)+3/(£)]/3;(4)J：fZxa/?[/(0)+/⑴]/2+ah2[fX0)-f(h)]-解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的圮义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。(1)若(1心(如«A_j(-h)+A)/(0)+A/W令f(x)=1,则2/7=九+观+人令fM=x♦则0=-A」/?+A}h令f(x)=x2,2则二h3=h2A}+h2A.3・从而解得”.弓令f(x)=X5,则£f(x\ix==0A_J(-h)+4/(°)+A/(z0=0令fM=x4故£/(x)Ja=A_J\-h)+4/(0)+AJ(h)(恥=j:血=I斥2A_J(-h)+Auf(0)+Alf(h)=-h5故此时，J：/(xM工4丿(一〃)+4/(0)+A/⑴故aA_J(-h)+A)/(0)+AJ(h)具有3次代数精度。若aA_J(-h)+4/(0)+AJ(h)令f(x)=1,则4〃=A_|+A)+A令fM=x,则0=一A,+Ayh令/(a)=x2,则=h2A_}+/也\=--h力3从而解得＜8rA}=-h3令f(x)=x3,则J：/(xXv=j；^x\lx=0+4/(0)+AJ(h)=0故£2//(xXv=A_J\-h)+4/(0)+a,/(/2)成立。令/(a)=x4,则J；f(x\Lx=J；x4dx=*力'九/(一力)+A/(0)+AJ0)=耳/F故此时，JXfZx工A_J(-h)+4/(0)+AJ(h)c2h因此，匚fZxa九/(_〃)+观/(0)+/V")具有3次代数精度。J-2/1若1)+2/(召)+3/匕2)]/3令/(x)=1,则£f(x}dx=2=[/(-I)+2/(召)+3/(兀)]/3令/(x)=x,则0=一1+2州+3勺令f(x)=x2,贝1」2=1+2彳+3卅从而解得（為1兀2=-0.2899=0.5266或片°&99x2=0.1266令f(x)=x\则J'i/(xXv=£x36/x=0[/(-1)+2/(x1)+3/(x2)]/3^0故£/(xXv=[/(-1)+2/(x,)+3/(x2)]/3不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。⑷若J：fZx=h[f(0)+/(")]/2+"胪[广(0)-f\h)]令fW=1,则J：f(x\lx=h,/?[/(0)+/(〃)]/2+ah2[f\0)-/'(/?)]=h打(也訂:加=非/”(0)+_/")]/2+肿[厂(0)-f(h)]=1h1令f(x)=X2,则町(0)+"]/2+我，(0)_側]=尹_2肿故有-h5=-h3-2ah2321a=—12令f(x)=x3>则/”(0)+/")]/2+右力2[广(0)-广⑷]=新一”》4令/(X)=X4,则£/(x>/x=j\4dx=|A5/”(0)+/(力)]/2+二/72[广(0)_广(力)]=；力5—；宀期1223o故此时，打(也*h[f(0)+f(h)]/2+存[广(0)_广⑴],因此，ff(x\lx/?[/(0)+/(/?)]/2+1h2[f\0)-fr(h)]具有3次代数精度。7。若用复化梯形公式计算积分f=^e\lx，问区间[0,1]应多少等分才能使截断误差不超过10"?解：采用复化梯形公式时，余项为/?„（/）=一^力e（a.h）12又•.•/=£exdx故f（x）=e\fn（x）=e\a=O,b=\.p•••|R”（/）|=|厂（〃）|/?2若此（炸10",则当对区间［0,1］进行等分时,h=-.n故有“>JUL因此,将区间476等分时可以满足误差要求\12第五章用改进的欧拉方法解初值问题y9=x+y,0°时，它原初值问题的准确解V=不I证明:梯形公式为h儿+1二几+二［/（£,儿）十/（兀+1,儿+1）］代/O,y）=—y入上式，得儿+i=儿+£［一儿一儿+J解得2—/?z2—/z72—力“+［儿+'=（话）儿=（亍）x-1=-=（為）儿因为〉'o=1，故儿=號"对Vx>o,以h为步长经n步运算可求得y（x）的近似值，故x=z?A,n=±,代入上式有2+/zlim儿==lim(I—-卩=lim[(l—-)莎=厂力TO亠02+力/—o'2+h/—o'2+h10.证明解V=f（儿刃的下列差分公式儿+i=£（儿+儿-J+£（4冗+i一冗+3）鳥）是二阶的，并求出截断误差矗首项。九严儿+卅+仔育+£点+。（巧几产孙加+仔肯+。（护）o2代入得汕=儿-磧+与站斗厝+。（巧儿『列-碍+与育+咖）£=-/i3y^+o（/F）=o（/F）-/?3?3）8・”，截断误差首项为8」12.将下列方程化为一阶方程组：y"-3y‘+2y=0,y(O)T$(O)=l；(1)y=乙疋=3z-2儿其中y(O)=1,z(0)=1Q/-o.i(i-r)y+y=o,y(O)=1，y(°)=°；(2)y'=乙z'=0.1(l-y2)z->'其中y(O)=1,z(O)=0第六章’K用二分法求方程"一「1=。的正根，要求误差小于0.05.解设/（x）=xJ_lJ（l）=_lvOJ⑵=1>0,故⑴2］为/⑴的有根区间.又££疋)=弓/(0)=—I/•（x）=2x—l,故当2时/（力单增•而由单调性知fM=0的惟一正根卅e（1，2）•根据二分法的误差估-—<0.05计式（7.2）知要求误差小于0.05,只需2+，解得k+l>5・322,故至少应二分6次・具体计算结果见表7-7・表7-7k亿心）的符号0121・5—11.521.751+21・51.751.625+31.51・6251.5625—41.56251.6251.59375—51.593751.6251.609375—即=1.6093753、为求X-F-1=°在勺=1・5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：X=1+丄X如］=1+—-⑴2,迭代公式无：1（2）十=1+工，迭代公式X如=（1+忑2）［9兀一1,迭代公式JC=(3)试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解取x0=L5的邻域［1・3,1.6］来考察.1?2⑴当Z.3J.6］时，处円+訂131.6］回卄护存"：故迭代公式呼在［L3J.6］上整体收敛.⑵当•'*[1・3,1・6]时血)=(1+/)叫[1.3,1・6]|0(x)|=-|—1<|―>1忑+i_/［⑶片？2（-1严2（1.6-1）故丁母一1发散由于（2）的L叫小，故取⑵中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字，只需IX.-X*10,/(x)=3x2-3=3(x2-1)>O,/'*(x)=6x>0,对Vxe[l,2].⑴取x^=2t用牛顿迭代法xj—3x.—12x.+1y—y人X歼k3兀2-3一3(忑2-1)x=1.888888889,^=1.879451567,氐一卅Iv丄xlO“计算得「2故%*沁=1.879451567■(2)取吃=2,旺=1.9利用弦截法y=y—)/(兀)x.=1.981093936,不=1.880840630,x4=1.879489903,1x4-x*l<1x1O'3得，.2故取炉总无=1.879489903■⑶心=1刊=3宀二2■抛物线法的迭代式为2/（忑）汐+sign（w）yjw2一4/（无）/[耳,无“,母.2]W=f[xk,也]+f[xk,X—'Xk^2]（xk一垛.1）12・应用牛顿法于方程x3-6/=O,导出求立方根丽的迭代公式，并讨论其收敛性。令/(x)=F—j迭代公式为广(“)=忑_3丘=卞又(p\x)=lax，所以(p\a)=2cr式0.因此迭代格式为线性收敛。15.证明迭代公式/（忑）_x^-a_2xl+a是计算血的三阶方法•假泄初值"充分靠近根卅=血，求证明记3工+。,则迭代式为由0（0的泄义，有（3x2+d）（p（x）=x（x2+3a）对上式两端连续求导三次，得6x^（x）+（3x2+a）（p\x）=3x2+3a6g（x）+12x（p\x）+（3x2+a）（p\x）=6x180（x）+1Sx（p\x）+（3x2+a）（p9\x）=6代X=苗依次入上三式,并利用叭皿=五，得（p\y[a）=0,（p'\yfa）=O.（p''\y[a）=—^0所以由窪理7・4知，迭代公式是求亦的三阶方法且
浙公网安备 33021202002483