第二十二章·二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质温故知新二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。y=ax2(a≠0)图像y=a(x+m)2y=a(x+m)2+k当m>0时向左平移m个单位当m<0时向右平移|m|个单位当k>0时向上平移k个单位当k<0时向下平移|k|个单位问题引入对于函数y=-x2-2x+1,请回答下列问题:(1)对于函数y=-x2-2x+1的图象可以由什么抛物线,经怎样平移得到的?(2)函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么?思路:把y=-x2-2x+1化为y=a(x+m)2+k的形式。y=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-[(x2+2x+1)-2]=-[(x+1)2-2]=-(x-1)2+2在y=-x2-2x+1中,m、k分别是什么?从而可以确定由什么函数的图象经怎样的平移得到的?知识点详解二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的?y=ax2+bx+c=a(x2+x+)(提取a,使二次项系数为1)=a[x2+x+()2-()2+](加上并减去一次项系数一半的平方)=a(x+)2+(写成配方式)知识点详解二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,(1)对称轴是直线(2)顶点坐标是(,)(3)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点。当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。知识点详解(4)最值:如果a>0,当x=时,函数有最小值,如果a<0,当x=时,函数有最大值,知识点详解(5)增减性:①若a>0,当x>时,y随x的增大而增大;当x<时,y随x的增大而减小。②若a<0,当x>时,y随x的增大而减小;当x<时,y随x的增大而增大。知识点详解(6)抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点。①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为(0,c)。②抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),其中为x1,x2方程y=ax²+bx+c的两实数根。知识点详解(7)抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式判定:①△>0有两个交点抛物线与x轴相交;②△=0有一个交点抛物线与x轴相切;③△<0没有交点抛物线与x轴相离。例题详解1.当x取何值时,二次函数y=2x2-8x+1有最大值或最小值,最大值或最小值是多少?解法一(配方法):y=2x2-8x+1=2(x2-4x)+1=2(x2-4x+4-4)+1=2(x-2)2-7≥-7所以当x=2时,y最小值=-7。例题详解解法二(公式法):因为a=2>0,抛物线y=2x2-8x+1有最低点,所以y有最小值,因为。所以当x=2时,y最小值=-7。
总结
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:求二次函数最值,有两个方法。(1)用配方法;(2)用公式法。例题详解2.函数y=-3x2+12x-16的图象能否由函数y=-3x2的图象通过平移变换得到?若能,请说出平移过程,并画示意图;说出函数图象的对称轴和顶点坐标。例题详解-8.-6.-4.-2-122.4.6.-2-4.-6.0.xy2.-10.y=-3x2y=-3(x-2)2-4y=-3(x-2)2二次函数y=-3(x-2)2-4的图象可以y=-3x2的图象向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到对称轴是直线x=2顶点坐标是(2,-4)。练习题1.已知函数,当x为何值时,函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一:,∴抛物线开口向下,又∴对称轴是直线x=-3,当x>-3时,y随x的增大而减小。练习题1.已知函数,当x为何值时,函数值y随自变量的值的增大而减小。解法二:∴抛物线开口向下,∴对称轴是直线x=-3,当x>-3时,y随x的增大而减小。课堂总结1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)顶点式:y=a(x+m)2+k。二次函数的特殊形式:当b=0时,y=ax2+c当c=0时,y=ax2+bx当b=0,c=0时,y=ax2。2.y=ax²+bx+c(a≠0)的图象(1)对称轴是直线x=。课堂总结(2)顶点坐标是(,)(3)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点。当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。