第三章数列等差数列等比数列定义an卅一a*=dan*/二c\=q(q式0)an递推公式an勺4+d；an喇」+mdn_man=an」q；an=amq通项公式an=ai+(n—1)dan=aiq(&,qHO)中项Aan_k+an4k-2*(n,k€N,n»0)G=±Jan_kan*(an—kan4kA°)*(n,k^N,nAk^O)前n项和Sn=^@1+an)丄n(n-1)Sn=naj中d2'nadq=1)Sn=bi(1—qn)a1—anq,»、-(q王2)L1—q1-q重要性质*am+an=ap+aq(m,n,p,N,m+n=p+q)aman=ap0q(m,n,p,q^N*,m+n=p+q)1•⑴等差、等比数列:等差数列等比数列定义{an}为Aan率—an=d(常数){an}为GPu—q(常数)an通项公式an=a1+(n_1)d=ak+(n_k)d=dn+a1-dan=a1qnJL=akqn±求和公式n(a〔+aj丄n(n—1)Snna〔d22d2d=—n+(a1——)n22Sn=“na1(q=1)na1(1—q)a1—anq(_=(q鼻1-q1-q中项公式a+b丄亠宀A-推广：2an=an_m*an4m2G2=ab。推广：an2=an_mXan4m性质1若m+n-p+q则a^a^a^aq若m+n-p+q，贝Uama*=apaq。2若｛kn｝成A.P（其中knEN）则｛akn｝也为A.P。若｛kn｝成等比数列（其中knEN）,则｛akn｝成等比数列。3-Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列。Sn,S2n—Sn,S3n—S2n成等比数列。4an一a1am一an/亠、d==(m^n)nTm—nn-1ann_manq=—,q=—a1am(m^n)5⑵看数列是不是等差数列有以下三种
方法
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：an-an4=d（n_2,d为常数）2an二an1an4（n一2）an=knb（n,k为常数）.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：an=an』q（n_2,q为常数,且=0）an_an1an4（n—2，anan1an-1_0）注①：i.b=ac,是a、b、c成等比的双非条件，即b=、,ac=a、b、c等比数列.b=..ac（ac>0）宀为a、b、c等比数列的充分不必要b=ac宀为a、b、c等比数列的必要不充分b=.ac且ac■0宀为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个③an=cqn（Gq为非零常数）.④正数列｛an｝成等比的充要条件是数列｛logxan｝（x-1）成等比数列⑷数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系:anSi=ai(n=1)®_s」n32)［注］:①an-a
题
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：⑴生产部门中有增长率的总产量问题例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1r.其中第n年产量为a(1-r)nJ，且过n年后总产量为:2n二a[a-(1+r)]a-a(1-r)-a(1-r)■...a(1r).1-(1卄)⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，禾利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1+r)n元.因此，第二年年初可存款：12121110a(1r)[1一(1-r)]a(1-r)-a(1r)-a(1-r)-...-a(1■r)=.1_(1+r)⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.=x1rx1rar（1+r）m1rm-1数列常见的几种形式：⑴an=pan1qan(P、q为二阶常数)r用特证根方法求解具体步骤：①写出特征方程X2=Px・q(x2对应an2,X对应an1)，并设二根X1,X2②若X1=X2可设an.，若捲味2可设a^(c<^c2n)x；;③由初始值a1,a2确定c1,c2.⑵an=PanJLr(P、r为常数)>用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an.2=Pan1qan的形式，再用特征根方法求an:④an^c1c2Pn4(公式法)，c1,c2由a1,a2确定.TOC\o"1-5"\h\z——r转化等差，等比：an彳*二P(an，x)=anq=Pan，Px「x=x.P—1rn_1rn_1选代法：a^Pan4r=P(Panr)r—a^(a1)P(a1x)P-xP-1P-1=Pn4a1Pn^r…Prr.用特征方程求解：an1Panr相减，-：an计-an二Pan-Panj：an计=(P1)an「Pan/.an二PanJr由选代法推导结果：c1--c2-a1--an-c2Pn4c1(a1-)Pn_1-.1-PP—1P—11-P几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使—nl0，成立的n值；二是由6冷『心®利用二次函数的性质求n的值•求此数列前n项和可依照⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：124，.，2n_i)*，…⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1,d2的最小公倍数判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于n>2的任意自然数，验a证an-anJ(-)为同一常数。⑵通项公式法。⑶中项公式法：验证anA22an1ran•an/an1二anan2)n'N都成立。am色0在等差数列｛an｝中，有关S的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足」的项数m使am卅兰0Qm兰0得Sm取最大值•⑵当a1<0,d>0时，满足丿的项数m使得Sm取最小值。在解含绝对值0m*启0的数列最值问题时，注意转化思想的应用。(三)、数列求和的常用方法公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。cr亠裂项相消法：适用于」，其中｛an｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无L_anan十」理数列、含阶乘的数列等。错位相减法：适用于Wnbn匚其中｛an｝是等差数列，匕［是各项不为0的等比数列。倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法5.常用结论1):1+2+3+...+n=n(n1)2、22)1+3+5+...+(2n-1)=n3),33312-n2n(n14)122232n2=-n(n1)(2n1)61115)-n(n+1)nn+11111、()n(n2)2nn26)丄二丄(丄-1)(P::q)pqq—ppq
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