届高中教材变式题7立体几何

精品文档七、《立体几何》变式题1．（人教A版，必修2．P17．第4题）图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．正视图侧视图俯视1图cm）1变式题．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；????cosBCAA，求（Ⅲ）设异面直线所成的角为与．A132?BBBC侧视图正视图?CC1?AA13?BB俯视图11图－解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．22?AA2?1?AB?1ABC?．由于底面1，所以的高为?CCS?2S?S?2S故所求全面积????A?ABCCABBBBC2?3BB12图1－2)(cm26?2?8????2???21?32?23．213?(cm)3?312BB?SV?????这个几何体的体积ABC?2精品文档．精品文档??????BCBCB//BBAA?AA与，所以．（Ⅲ）因为所成的角是2222??????13?C?2BCBB???B3CRt?BB中，在，?33BB?13??cos?故．?13BC133）2，P20．例A2．（人教版，必修，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．如图2PP?O?OO正视图侧视图俯视图2图）．．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm2变式题－1（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．P2222??OO2222OO正视图侧视图俯视图12图－22解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图－所示．，2cm）1cm（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为，高为3cm）它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm．，高为精品文档．精品文档22????)(cm7?11?2??1?2?2?S??，所以所求表面积P31223??????2??2?1?3V???1)(cm所求体积．33?O，已知几何体的三视图（单位：cm）．变式题2－2．如图2－3（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；??QAcosPDO（理科考生），求、所成角为（Ⅲ）设异面直线．122－图PQP22A正视侧视俯视3图2－解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．PBCQ?ADAC的组合体．（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱111112AD?AD?2PA??PDQ，由，P1111DC11PDPA?．可得11AB11故所求几何体的全面积1??222)(cm24?25S??2?2?2??2??222?C2DE所求几何体的体积AB1??233)(cm10?2?2V?2??4图2－2QCPD//PQPQ//CD?CD，，且，可知（Ⅲ）由QAQC?APD所成的角（或其补角）为异面直线故．、1122222AQ?226??Q?BA?B3?AC3??22由题设知，，11111精品文档．精品文档3QE?QE?BCBCE中点，，则，且取2222210?QC3?QE1?EC??．222ACAQ?QC??11?AQC?cos?cos由余弦定理，得1QC?2AQ115?10?126??．151026?P31．第4题）3．（北师大版．必修2．CCBCDABCD?AAA上的点，且和棱分别是正方体的棱如图3，已知E，F111111EBFD?CFAE，求证：四边形是平行四边形11DC11FAB11DCEAB3图CCBCDABCD?AAAFE的中分别是正方体、的棱1变式题：如图3－．已知和棱111111点．EBFDD（Ⅰ）试判断四边形的形状；C111A?EBFDDBB．平面（Ⅱ）求证：平面BF11111EDMABBMFM、．的中点，连结取解（Ⅰ）如图3－2，11CACCBBFMB和∵、的中点，分别是2图3－11//CMFBD∴，?C1111FADBABCD?AC中，有在正方体B111111//D//DAMFDCAB∴，，??111111CEAMFDAB∴四边形是平行四边形，1－图311//MADF∴．?11精品文档．精品文档BBAAME分别是的中点，又、、11//EBMA∴，?1EBMA∴四边形为平行四边形，1//EBAM∴．?1//EBDF故．?1EBFD是平行四边形．∴四边形1FCB?RtRt?EAB，≌又BF?BE，∴EBFD故四边形为菱形．1EBFDBDCAEF、∵四边形为菱形，（Ⅱ）连结．、1111BD?EF．∴1DABCABCD?在正方体中，有1111CAD?B，1111A?ABD111ACC?ABD平面∴．1111ACCA?EF平面又，11DBEF?∴．11D?BDBD，又111DBB?EF．∴平面11EBFD?EF，又平面1?EBFDDBB平面故平面111）．例2，．（人教A版，必修2P744DC11BDBABCD?ACA与平面，在正方体4中，求直线如图11111B1A1精品文档DCAB4图精品文档CDBA所成的角．11DC?ABABCD中，底面边长－1，已知正四棱柱变式题：如图4D1111C11BCCBCBB2AB?BA，的的垂线交侧棱于的长为4，过点侧棱作11111ECBFE．，交于点点F1DC?CABED平面（Ⅰ）求证：；1AB1－图4BABDE与平面所成的角的正弦值．（Ⅱ）求1DDxyDCDADz轴建立为原点，、、，以所在直线分别为、、解：（Ⅰ）如图4－21xyzD?．空间直角坐标系4)D(0,0,(0,2,4),(2,0,4),B(2,2,4),CD(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A∴．11114)?(?2,0,?2,0,t),BC?BE?()(0,2,tE，则设．1zC?BBE0??0?4tBE?BC?4．∵，∴D11C11BA2,0,1)??(BE(0,2,1)E1?t，，∴∴．11E(2,2,0)DB??AC?(?2,2,4),，又F1DyC040??4?DBAC???ACBE?40?40???且．∴11ABx2－4图BEAC??DBAC∴．且11?AC?AC?ACBDBEBDE∴平面且．∴．1114)BA(0,2,?4)?2,2,(?AC??BDE的一个法向量，又（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面，11精品文档精品文档BACA?3011?B,A?cosAC∴．116||AC||AB1130BABDE所成角的正弦值为∴与平面．16题）87，第105．（人教A版，必修2，P??????,DCP,?CP,D?,?AB,AB与是垂足，试判断直线，且如图5，已知平面CD的位置关系？并证明你的结论．?PC?DA5图??????D,CPD??AB,PC?,,,，且，如图5，已知平面是垂足．1变式题5－?PCD?AB（Ⅰ）求证：平面；P??2???PD1,CDPC的位置，试判断平面（Ⅱ）若与平面DCA关系，并证明你的结论．BQ??,，5－1，如图，已知平面5变式题?1图5－????D,,,PD?CPC?AB,?且是垂足．PCD?AB（Ⅰ）求证：平面；??2?PD?1,CDPC?的位置关系，并证明你的结论．（Ⅱ）若，试判断平面与平面???PC?AB,ABPC?ABPD?，所以解（Ⅰ）因为．同理．PPD?PCPCD?AB．又平面，故CHPCDDHABH与平面、的交点为．，连结（Ⅱ）设DH?,ABAB?CHPCD?AB平面因为，，所以DAB??CHDC?所以的平面角．是二面角02222CDPC?PD?1,?90?PDCPD?2CD??PC?，所以，即又．090CPD????PCH?PDH?PCHD在平面四边形中，，090?CHD?所以．精品文档．精品文档???．平面故平面??????PQ?,,Q?AB??P所，与平面、1变式题5－2．如图5－，已知直二面角0304?PQ，成的角都为．?PDAB,,CQD?PC?AB为垂足．为垂足，DCABPQCD（Ⅰ）求直线所成角的大小；与EQ?PCDQ（Ⅱ）求四面体的体积．25图－//?CEDQCDQEQEPE内，作5－、2．则四边形，在平面为平解：（Ⅰ）如图，连结?//EQCDPQPQE?CD与，即．所成的角（或其补角）为直线行四边形，所以?????ABPC???,AB,因为．???PC?QD．同理．所以000??30?30?QPD?PQC?30PQ以、，所成角为所，以所又，与平面31003?4??CQ?PQcos3022?4sin30???DQPQ．，22222?2EQ22?CQ?DQ?124?CD?CDQRt?中，．在，从而CDQE?ABQD，且因为为平行四边形，CE?EQ．所以??PC?EQPC??,EQ，所以又．PEEQ??EQPCE，从而故平面．22EQ2PEQRt???cos?PQE?在中，．24PQ045??PQE，所以045PQCD所成角的大小为．即直线与0304,?PQC??PQPCQRt?2?PC，所以中，（Ⅱ）在．精品文档．精品文档11222??CD?DQ??22S?CDQ三角形，的面积CDQ?22PCDQ故四面体的体积4112??2?S?PC??22V．CDQ?3331题）2，P87，B组第6．（人教A版，必修ABCD中，如图5，边长为2的正方形DF,?AED,?DCFDEBCFEAB折起，使的中点，将的中点，点（1）点分别沿是是??CA,EFA?DA两点重合于点．，求证：1?BCBFBE??EFD?A时，求三棱锥（2）当的体积．4?AADDEECFBFB6图E2,AD?1,AB?CDABCDAE为折痕将是中，1变式题．如图5－，在矩形的中点，以??ABCE??DAEDDAED平面，且平面向上折起，使．为?EB?AD；（Ⅰ）求证：?ACABD与平面所成角的正弦值．（Ⅱ）求直线ED?CDECABAB22?2?BE?CEBCBCERt?，解（Ⅰ）在中，22????2?AEDA?DEERt?AD中，在，2222AE??2?ABBE∵，BEAE?∴．精品文档．精品文档?ABCEAEAED?平面∵平面，，且交线为?D?AED?BE平面．∴??AEDAD?平面∵，GCE?BEAD?∴．ACFBEF，由（Ⅰ）与相交于点（Ⅱ）设?BE?AD，知AB??EDAD?∵，??EBD?AD，∴平面??AEDAD?∵平面，???BD?EBDABD，且交线为平面，∴平面???GFGFG?BDABD，，则，垂足为平面6如图－2，作?AC?FAGAGABD是直线连结与平面，则所成的角．211ECEF??EBEF??，∴由平面几何的知识可知．332ABFB52222??AFAE??EF?2AEFRt?中，，在39?62EFGD??FG?EBD?Rt，可求得在中，．?9BDFB6230FG9?FAG???sin．∴15AF52330?ACABD∴直线与平面．所成的角的正弦值为15精品文档．