独立性检验的基本思想及其初步应用

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.如身高、体重、考试成绩、温度等等.变量定量变量分类变量例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm，李立的身高是175cm，说明张明比李立高180-175=5（cm）.两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、相关系数r、相关指数R2、残差分析）对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值” 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系：如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等.分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等等.有时也可以把分类变量的不同取值用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义，例如用0表示“男”，1表示“女”，性别变量就变成取值为0和1的随机变量，但是这些数字没有其他的含义.此时比较性别变量的两个不同值之间的大小没有意义，性别变量的均值和方差也没有意义.两个分类变量的相关关系的分析：通过图形直观判断两个分类变量是否相关；独立性检验.9965919874总计2148492099吸烟7817427775不吸烟总计患肺癌不患肺癌由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌。因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：吸烟与患肺癌列联表（列出两个分类变量的频数表）：在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系.a+b+c+db+da+c总计c+ddc吸烟a+bba不吸烟总计患肺癌不患肺癌把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表用A表示吸烟，B表示患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。a+b+c+db+da+c总计c+ddc吸烟a+bba不吸烟总计患肺癌不患肺癌在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量（1）若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？（2）独立性检验随机变量-----卡方统计量5、独立性检验3.8410.055.0240.0256.6350.0107.8790.00510.8280.0012.7060.102.0721.3230.7080.4550.150.250.400.50临界值表0.1%把握认为A与B无关1%把握认为A与B无关99.9%把握认A与B有关99%把握认为A与B有关90%把握认为A与B有关10%把握认为A与B无关没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。思考答：判断出错的概率为0.01。判断是否成立的规则如果，就判断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。独立性检验的定义上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会差过即有99%的把握认为不成立。一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和B（如吸烟与不吸烟）；Ⅱ也有两类取值，即类1和2（如患病与不患病）。于是得到列联表所示的抽样数据：a+b+c+db+da+c总计c+ddc类Ba+bba类A总计类2类1　用统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：（1）提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系；（3）查对临界值，作出判断。（2）根据2×2列联表与公式计算的值；由于抽样的随机性，由样本得到的推断有可能正确，也有可能错误。利用进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本量n越大，估计越准确。1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(二)1．分类变量和列联表(1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的称为列联表．②2×2列联表一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.不同类别频数表{x1，x2}{y1，y2}2.等高条形图(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否，常用等高条形图展示列联表数据的．a＋b＋c＋db＋da＋c总计c＋ddcx2a＋bbax1总计y2y1互相影响频率特征③如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过a，否则就认为在不超过a的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中支持结论“X与Y有关系”．4．在独立性检测中，当K2>时，有95%的把握说事件A与B有关；当K2>时；有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤时，认为．k≥k0犯错误的概率没有发现足够证据3.8416.6353.841事件A与B是无关的[例1]　下面2×2列联表的K2的值为________.[答案]　1.7802．将K2的数值与两个临界值3.841与6.635进行对比；做出统计推断：当根据具体的数据算出的K2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌情况，结果如下表，试检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异.725022合计321814零售点40328屠宰场合计不带菌头数带菌头数[分析]　这是一个2×2列联表，可以用K2检验来检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异．[例2]　在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，通过图形判断色盲与性别是否有关．利用独立性检验判断，是否能够以99.9%的把握认为“色盲与性别有关系”．你所得到的结论在什么范围内有效？[解析]　根据题目所给的数据作出如下的列联表(单位：名)：[例3]　在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，通过图形判断色盲与性别是否有关．利用独立性检验判断，是否能够以99.9%的把握认为“色盲与性别有关系”．你所得到的结论在什么范围内有效？[解析]　根据题目所给的数据作出如下的列联表(单位：名)：色盲与性别列联表根据列联表作出相应的二维条形图，如图所示．100095644总计5205146女48044238男总计非色盲色盲[点评]　本题应首先作出调查数据的列联表，再根据列联表画出条形等高图，并进行分析，最后利用独立性检验作出判断．1．利用图形来判断两个分类变量是否有关系，可以画出条形等高图，仅从图形上只可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，可以结合所给的数值来进行比较．作图应注意单位统一，图形准确，但它不能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算．2．当需要利用公式计算K2的观测值大小来对问题作出推断时，首先要牢记公式，再将经过准确运算后得到的结果与临界值进行比较，最后才能得出合乎情理的结论．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？[分析]　由题目可获取以下主要信息：①甲在生产现场和不在生产现场时，产品中的合格品和次品数量；②共调查统计了1500件产品．解答本题的关键是准确把握数据作出2×2列联表，然后具体分析．[解析]　(1)2×2列联表如下：由列联表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12750，相差较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．1500251475合计51017493甲不在生产现场9908982甲在生产现场合计次品数合格品数[例4]　有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？907317总计45387乙班453510甲班总计不优秀优秀[辨析]　由于对2×2列联表中n11，n12，n21，n22的位置不确定，在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误．一、选择题1．可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是(　　)A．散点图B．条形等高图C．独立性检验的思想D．以上都不对[答案]　B[解析]　用条形等高图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但无法精确给出结论的可靠程度．2．下表是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为(　　)A．94,96　　B．52,50　　C．52,54　　D．54,5210046b总计27252x27321ax1总计y2y13．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)A．k越大，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大B．k越小，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大C．k越接近于0，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越大D．k越大，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越小[答案]　B4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过(　　)A．0.25　　　　　　　B．0.75C．0.025D．0.975[答案]　C[解析]　通过查表确定临界值k.当k＞k0＝5.024时，推断“X与Y”有关系这种推断犯错误的概率不超过0.025.二、填空题5．如果K2的观测值k为8.654，可推断“X与Y有关”犯错误的概率不超过______．[答案]　0.005[解析]　k＝8.654＞7.879，就推断“X与Y有关”犯错误的概率不超过0.005.6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如下表所示：进行统计分析时的统计假设是__________________．[答案]　假设电离辐射的剂量与人体受损程度无关．503020合计25196第二种剂量251114第一种剂量合计存活死亡三、解答题7．在500个人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外500个未用血清的人作比较，结果如下表所示.试画出列表的条形图，并通过图形判断这种血清能否起到预防感冒的作用？并进行独立性检验．1000524476合计500276224未用过500248252试验过合计感冒未感冒[解析]　如下图所示．8.（湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：1105060总计503020不爱好602040爱好总计女男由算得附表：10.8286.6353.8410.0010.0100.050参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”答案：C