3．正方形学习目标：1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理；(重点)2．会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明．(难点)教学过程：一、情境导入如图①所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．如图②所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．图①中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图②中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】利用正方形的性质求角度例1四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况．解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．【类型二】利用正方形的性质证明线段相等例2如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.求证：AP＝EF.解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.证明：连接AC，PC.∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF.方法
总结
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：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．【思考题】已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠DEC＝90°.又∵∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理可得DE＝DG，∴DE＝DF.∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．三、板书设计教学反思：经历正方形性质和判定的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
![3．正方形[2]](https://swf.iask.com/5kMYfwBeVA6_wAkAsSWYK16.jpg?ssig=C6rwG8Z0hC&Expires=1718703665&KID=sina,ishare&range=0-281562)
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