第8讲MATLAB数值积分与微分8.1数值积分8.2数值微分8.1数值积分8.1.1数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法(插值多项式是一次的)、辛普生(Simpson)?法(插值多项式是二次的)等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。8.1.2数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('filename',a,b,tol,trace)其中filename是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，-6缺省时取tol=10。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。例8-1求定积分?0esin(x?)dx6解：(1)建立被积函数文件fesin.m：functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分：[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=Ex:求数值积分0.9008?xsinxn=dx20771?cosx3??5x??2．被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。2.5?x例8-2用trapz函数计算定积分?1edx命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.28588.1.3二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad('f(x,y)',a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。sin(x?y)dxdy例8-3计算二重定积分??1??2e解：(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解：globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kiI=1.5745ki=103812?x2/228.2数值微分8.2.1数值差分与差商高等数学关心的是导函数的形式和性质，而数值
分析
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关心的问题是怎样计算导函数f'(x)=g(x)在一串离散点X=(x1,x2,…,xn)的近似值G=(g1,g2,…,gn)以及所计算的近似值有多大误差。引进记号?f(x)?f(x?h)?f(x)?f(x)?f(x)?f(x?h)?f(x)?f(x?h/2)?f(x?h/2)称?f(x)、?f(x)和?f(x)分别为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分和中心差分。称?f(x)/h、?f(x)/h和?f(x)/h分别为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商和中心差商。当步长h(h>0)充分小时，函数f在点x的微分接近于函数在该点的任意种差分。f在点x的导数接近于函数在该点的任意种差商。8.2.2数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。例8-4生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%计算V的一阶差分DV=311573102116519510781175377102101369619104651671911110例8-5设f(x)?x?2x?x?12?x?5?5x?2用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。用三种方法：1、用一个5次多项式p(x)拟合函数f(x)，并对p(x)求一般意义下的导数dp(x)，求出dp(x)在假设点的值；2、直接求f(x)在假设点的数值导数；3、求出g(x)=f'(x)的表达式326f?(x)?3x?4x?12x?2x?x?12322?16(x?5)65?5然后求f'(x)在假设点的数值导数。程序如下：f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%1用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p);%1对拟合多项式p求导数dpdpx=polyval(dp,x);%1求dp在假设点的函数值dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%2直接对f(x)求数值导数gx=g(x);%3求函数f的导函数g在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');%作图Ex:求函数f(x)?x?1在指定点x?1,2,3的数值导数。2
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