标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高考数学不等式知识点及相关题型不等式一、比较大小作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。【例1】比较和的大小，其中【例2】设，比较与的大小作商法：常用于分数指数幂的代数式。【例3】设，且，比较与的大小二、不等式的性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④，；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧．【例4】若且，则下列不等式恒成立的是【例5】下列命题中正确的是三、性质的应用，待定系数法【例6】不等式组的解集记为D。有下面四个命题：其中的真命题是四、不等式的解法，对题目条件的领悟【例7】已知函数且，则≤3＜c≤6＜c≤9＞9【例8】已知是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则不等式的解集用区间表示为：五、不同形式不等式解法1、一元一次不等式ax>b，分别对a、b的正负情况进行讨论2、一元二次不等式解法：图像法、因式分解法（1）化成标准式：；（2）求出对应的一元二次方程的根；（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。解含参数的一元二次不等式时，要把握好分类讨论的顺序=1\*GB3①根据二次项系数的符号进行讨论=2\*GB3②根据一元二次方程的根是否存在，即的符号进行讨论=3\*GB3③在根存在时，根据根的大小进行讨论【例8】已知不等式的解集是，则不等式的解集是3、简单的一元高次不等式的解法：标根法
步骤
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（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。4、解分式不等式不能轻意去分母通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；[特别关注]求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。【例9】关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是（）A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(1,2)D．(-∞,1)∪(2,+∞)【例10】解关于的不等式：5、解绝对值不等式：关键是“去绝对值”，①利用绝对值不等式的性质：若M>0则|f(x)|>Mf(x)>M或f(x)<-M；②平方（不等式两边同正）；③讨论（绝对值内的式子为0）。方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。【例11】设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6、分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。【例12】解不等式【例13】已知：函数（）．解不等式：．7、抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。【例12】已知奇函数f(x)在为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为：【例13】已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.8、含参变量无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。【例14】不等式在[-1，1]上恒成立，则的取值范围是【例15】不等式的解集是（）ABCD9、含参不等式恒成立通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）具体地：g(a)>f(x)在x∈A上恒成立g(a)>f(x)max，g(a)
0在x∈A上恒成立f(a,x)min>0,(x∈A)及f(a,x)<0在x∈A上恒成立f(a,x)max>0,(x∈A)来转化；还可以借助于函数图象解决问题。特别关注：“不等式f(a,x)≥0对所有x∈M恒成立”与“不等式f(a,x)≥0对所有a∈M恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x的不等式，而后者则应视为是关于a的不等式。特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。【例16】定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在为增函数，对任意∈R，不等式f(cos2-3)+f(2m-sin)>0恒成立，则实数m的取值范围是【例17】设奇函数在[-1，1]上是增函数，且，若函数对所有的及所有的都成立，则的取值范围是；不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上2).能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围____（答：）3).恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.【例18】已知函数，若，则a的取值范围是六、重要不等式1.（1）若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”一正：各项都是正数二定：和或积为定值三相等：等号能取到（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．+b3+c3≥3abc（a,b,cR+）,EQ\F(a+b+c,3)≥（当且仅当a=b=c时取等号）；6.EQ\F(1,n)(a1+a2+……+an)≥(aiR+,i=1,2,…，n)，当且仅当a1=a2=…=an取等号；变式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca;ab≤(EQ\F(a+b,2))2(a,bR+);abc≤(EQ\F(a+b+c,3))3(a,b,cR+)a≤EQ\F(2ab,a+b)≤EQ\R(ab)≤EQ\F(a+b,2)≤EQ\R(EQ\F(a2+b2,2))≤b.(0b>n>0,m>0;解题技巧：技巧一：凑项已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数当时，求的最大值。技巧三：分离求的值域。技巧四：换元求函数的最值技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。求函数的值域。七、线性规划常见的目标函数截距型：形如，可以转化为，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值【例】1、不等式组的解集记为D。有下面四个命题：其中的真命题是2、已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则a=点到点的距离型：形如，表示区域内的动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方【例】若变量x，y满足，则的最大值是斜率型：形如，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）连线的斜率【例】已知x，y满足，则的取值范围是点到直线的距离型：形如，表示区域内的动点（x，y）到直线的距离的倍补充：1、x，y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值2、已知区域的面积为S，点集在坐标系中对应区域的面积为，则k的值为3、若不等式组表示的平面区域的形状为三角形，则a的取值范围是
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