§1・8复系数与实系数多项式的因式分解一•复系数多项式代数基本定理：-f(x).C[x]，若；：(f(x))_1,贝Sf(x)在复数域C上必有一根.(在复变函数中有证明)注：-f(x)C[x]，若：(f(x1-，则存在x-aC[x]，使(x_a)|f(x),即f(x)在复数域上必有一个一次因式.复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即-f(xrC[x],若：:(f(x))1，则f(x)可约的.复系数多项式因式分解定理：条件1)-f(x)C[x],2)若；：(f(x))_1,结论1)f(x)在C上可分解成一次因式的乘积.2)分解式唯一推论1.-f(xbC[x]，若：：(f(x)1,则f(x)在C上具有
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分解式f(X)二c(x-：1)r1(x-：2)「2(X-：s)rs其中1)s是不同的复数，2)「1，「2…「Z+3)：(f(X))十「2llhs推论2.-f(x)C[x]，若；(f(x)Hn，则f(x)有n个复根(重根按重数计算).二、实系数多项式1.命题：若:•是实系数多项式f(X)的复根，则〉的共轭复数〉也是f(x)的复根.证：设f(x)=anXn•an」xnJ1「…丁玄，a^R，若：•为根，贝卩f(：)=an：nanjn」一…-a0=0两边取共轭有f(「)=an•anj…•a0=0二厂也是f(x)为复根.2.实系数多项式因式分解定理：-f(x)C[x]，若：：(f(x))_1,则f(x)可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.证：对f(x)的次数作数学归纳若：：(f(x))=1,f(x)就是一次因式，结论成立假设对次数＜n的多项式结论成立，设：：(f(x))=n,由代数基本定理，f(x)有一复根:-.若〉为实数贝Sf(x)=(x-：)fi(x)，其中f(fi)=n-1.若〉不为实数，则「也是f(x)的复根，于是f(x)=(x-：)(x-：)f2(x)=(x一C-匚)x亠:：£：：£)f2(x)设:二abi，贝卩\二a-bi,：：-2aR：：-a2b2R,即在R上x2-(二比)xZu是一个二次实系数不可约多项式，从而■(f2)=n-2由归纳假设fi(x)、f2(x)可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积.由归纳原理，定理得证.推论1.-f(x).R[x],f(x)在R上具有标准分解式f(x)二an(x-q)kl(x-C2)k2(x-Cs)ks(x2»x如叫川匕2p「xq「)kr其中G,C2Cs,PiPr,qiR匕ks,hIsz,且p：-4qi：：0,i=1,2…r，即x2PiXqi为R上的不可约多项式推论2.在实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二次不可约多项式，所有次数＞3的多项式皆可约.例1求xn-1在C上的标准分解式解：在复数范围内xn-1有n个复根1,；,；2川2，这里，cos兰isind—1nnk=1,2,叩2k兀亠..2kn=cosisinnnXn-1=(x-1)(x-；)(x-；2)川(x-2)在实数域范围内课下练习小结：代数基本定理，复系数多项式因式分解与标准分解式，实系数多项式因式分解与标准分解式.
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