专题1.1集合-20届高中数学同步讲义人教版(必修1)

第一章集合与函数概念1.1集合一、集合的概念1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．2．元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作___________；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作___________．学@科网注意：aA与aA取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，aA与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立．3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．二、常用的数集及其记法1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作N或N；3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．易错点：N为非负整数集（即自然数集），包括0，而N表示正整数集，不包括0，注意区分．三、集合的表示方法1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{R}表示所有实数是错误的，应是R．2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．四、Venn图，子集1．Venn图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn图表示AB如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即AA．②传递性，对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC．五、从子集的角度看集合的相等如果集合A是集合B的___________（AB），且集合B是集合A的___________（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB．用Venn图表示AB如图所示．六、真子集1．真子集的概念如果集合AB，但存在元素___________，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）．如果集合A是集合B的真子集，在Venn图中，就把表示A的区域画在表示B的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．辨析：子集与真子集的区别：若AB，则AB或AB；若AB，则AB．七、空集1．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．2．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即A；（2）空集是任何非空集合的___________，即A．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．五、子集子集六、1．xB，且xA七、1．不含2．（1）子集（2）真子集八、1．所有A∪B九、1．属于集合A且属于集合BA∩B十、2．不属于1．并集与交集的概念，补集的有关运算及数轴的应用，数形结合的思想；K—重点2．运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法正确表示一些简单的集合；1．能利用Venn图表达集合间的关系；K—难点2．集合中元素的三个特性；1．在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 有关集合问题时，要注意空集的地位；K—易错2．判断集合之间的关系时，要从元素入手．1．集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【例1】下列各组对象中不能构成集合的是A．正三角形的全体B．所有的无理数C．高一数学第一章的所有难题D．不等式2x＋3>1的解【答案】C【解析】C中的难题并没有确定的标准，因此不满足集合中元素的确定性，不能构成集合．A，B，D中的对象满足集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够构成集合．【名师点睛】集合中元素的三个特性：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．2．元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若aA，且集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．【例2】已知M{x|x2a1,aZ}，则有A．1MB．0MC．2MD．1M【答案】D【解析】设12a1，则a0Z，即1M，同理可得0M，2M，1M．【名师点睛】解决本题的关键是根据集合M中元素的一般形式分别判断1，0，2，1是否为该集合中的元素，即分别判断方程2a1=1，0，2，1是否有整数解．3．集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．【例3】选择适当的方法表示下列集合：（1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．（3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数yx2图象上的所有点组成的集合．【答案】答案详见解析．（4）设平面直角坐标系中函数yx2图象上的所有点组成的集合为E，函数yx2图象上的点可以用坐标(x,y)表示，则有{(x,y)|yx2}．【名师点睛】由于本题（2）中的集合B中的元素是大于1且小于70的自然数，具有规律性，所以还可以表示为B＝{2，3，…，69}．注意：由于用以表示集合的大括号已有概括“全体元素”之意，因此在大括号内不应再出现“全体”、“所有”、“集”等词．例如，Q={全体有理数集}，R={实数集}都是错误的．4．集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a，2，b2，且两集合相等，求a，b的值．1aa04【答案】或．b11b2【名师点睛】（1）对于列举法给出的集合，若两个集合相等，则它们所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关，由此可列出方程或方程组．因为集合中的元素具有无序性，所以在建立方程（组）的时候，要注意分类讨论，同时要对最后结果进行检验，以免与集合中元素的互异性相矛盾．（2）对于描述法给出的集合，要判断两集合是否相等，要判断两个集合的代表元素是否一致，及代表元素所满足的条件是否一致，若都一致，则两集合相等．5．判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系：（1）A{1,2,4}，B{x|x是8的约数}；（2）A{x|x3k,kN}，B{x|x6z,zN}；（3）A{x|x是平行四边形}，B{x|x是菱形}，C{x|x是四边形}，D{x|x是正方形}．【答案】（1）AB；（2）BA；（3）CABD．【解析】（）的约数有，，，，所以B{1,2,4,8}，从而有AB．181248（2）A中的元素都是3的倍数，B中的元素都是6的倍数，对任意的zN，6z=3(2z)．因为zN，所以2zN，从而可得6zA，从而有BA，1设6z3，则zN，故3B，但3A，所以BA．2（3）画出Venn图如图所示，由图可知CABD．【名师点睛】（1）当AB和AB均成立时，AB最准确反映集合A,B的关系．当AB和AB均成立时，AB最准确反映集合A,B的关系．（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，属于关系是元素与集合之间的关系，注意区分．6．确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点：（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合A={xN1x4}的真子集个数为A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】方法一：A0，1，2，3中有4个元素，按真子集中所含元素的个数分类写出真子集．是任何非空集合的真子集；由一个元素构成的真子集：{0}{，1}{2}{3}，，；由两个元素构成的真子集：{0,1}{0,2}{0,3}{，，，1,2}{，1,3}{2,3}，；由三个元素构成的真子集：{0,1,2}{0,2,3}{，，1,2,3}{0,1,3}，．（2）已知集合M{x|x22x0},N{0,1,2}，则MNA．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}（3）已知全集UR,Ax|x0,Bx|x1，则集合ðABUA．x|x0B．x|x1C．x|0x1D．x|0x1【答案】（1）C；（2）C；（3）D【名师点睛】（1）集合{x|f(x)0}表示关于x的方程f(x)0的解集．（2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到．1．下列选项正确的是A．0∈N*B．π∉RC．1∉QD．0∈Z2．在下列命题中，不正确的是A．{1}∈{0，1，2}B．Φ⊆{0，1，2}C．{0，1，2}⊆{0，1，2}D．{0，1，2}={2，0，1}3．下列哪组对象不能构成集合A．所有的平行四边形B．高一年级所有高于170厘米的同学C．数学必修一中的所有难题D．方程x2–4=0在实数范围内的解4．已知集合A={2，3}，下列说法正确的是A．2∉AB．2∈AC．5∈AD．3∉A5．集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是A．x≠–1B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3D．x≠–1或x≠0或x≠36．已知集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，则A=B，则实数m=A．2B．–1C．2或–1D．47．集合A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=A．{0}B．{0，2}C．[0，2]D．{0，1，2}8．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈Z}，则A∪B=A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{–1，0，1，2，3}9．已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为A．2B．3C．4D．510．设全集U={3，1，a2–2a+1}，集合A={1，3}，∁A={0}，则a的值为UA．0B．1C．–2D．–111．已知全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则（∁A）∩B=UA．ΦB．{0}C．{1，3}D．{0，1，3，4}12．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，那么（∁A）∩B等于UA．{4}B．{1，3，4，5，7，8}C．{1，3，7}D．{2，8}13．已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④Φ∈M⑤集合M是无限集．A．0B．1C．2D．3．14．设集合A={x∈Z|x>–1}，则A．Φ∉AB．2∉AC．2AD．{2}⊆A15．设A∪{–1，1}={0，–1，1}，则满足条件的集合A共有个．A．1B．2C．3D．416．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是A．[1，3]B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）17．如图所示的韦恩图中，若A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为A．{x|02}18．若全集U={–1，0，1，2}，P={x∈Z|x2–x–2<0}，则∁P=UA．{0，1}B．{0，–1}C．{–1，2}D．{–1，0，2}119．已知集合M{x|x12，xZ}，P{x|2x2，xR}，则图中阴影部分表示的集合为8A．{1}B．{–1，0}C．{0，1}D．{–1，0，1}20．设全集U={x∈N|x≤9}，集合A={2，5，8，9}，B={1，4，6，7，9}，则图中阴影部分表示的集合为A．{1，4，6}B．{1，4，7}C．{1，4，9}D．{1，4，6，7}21．已知集合A是由0，m，m2–3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为__________．22．由实数t，|t|，t2，–t，t3所构成的集合M中最多含有__________个元素．23．设A={x|14}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．30．（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}31．（2018•天津）设集合A={1，2，3，4}，B={–1，0，2，3}，C={x∈R|–1≤x<2}，则（A∪B）∩C=A．{–1，1}B．{0，1}C．{–1，0，1}D．{2，3，4}32．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2–x–2>0}，则∁A=RA．{x|–12}D．{x|x≤–1}∪{x|x≥2}33．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B=A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{–2，–1，0，1，2}34．（2018•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁A=UA．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}35．（2018•北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1}B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2}D．{–1，0，1，2}36．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A={x|x–1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}37．（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为A．9B．8C．5D．438．（2018•北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1}B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2}D．{–1，0，1，2}39．（2018•天津）设全集为R，集合A={x|0a+3，解得a>3；当B≠Φ时，a362a2，解得1≤a≤3；∴a的取值范围是{a|1≤a≤3，或x>3}={a|a≥1}，故选C．2aa317．【答案】C【解析】∵A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，设全集U=A∪B={x|x≥0}，∵A∩B={x|12m–1，解得：m<2，综上，实数m的范围为（–∞，3]．29．【答案】{x|a<–4或23}【解析】∵集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，B⊆A，∴当B=Φ时，2a>a+3，解得a>3，成立；当B≠Φ时，a+3<–1或2a>4，且2a3}．30．【答案】C【解析】∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选C．33．【答案】A【解析】集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B={0，2}．故选A．34．【答案】C【解析】根据补集的定义，∁A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅U有2，4，5符合元素的条件．∁A={2，4，5}，故选C．U35．【答案】A【解析】∵集合A={x||x|<2}={x|–2