正弦定理和余弦定理例题精讲精练1.几何法证正弦定理设BDABC外接圆OO的直径，则BD=2R,下面按/A为直角、锐角、钝角三种情况加以证明.a⑴若/A为直角，如图①，贝UBC经过圆心0,「.BC为圆0的直径，BC=2R,-snA=BC=2R.sin90°若/A为锐角，如图②，连结CD，则/BAC=ZBDC,在Rt△BCD中，一BC=BC,sin/BDCsin/BACBC“—BC“=BD=2R,「.=2R.sin/BDCsin/BAC即一^=2R.sinA若/A为钝角，如图③，连结CD，则/BAC+/CDB=n所以sin/BAC=sin/CDB,在Rt△BCD中，一BC-sin/CDBBC=BD=2R,又..._BCsin/CDBsin/BAC•••—BC=2R,即一^=2R.sin/BACsinA可证得：一^=2R.同理可证：sinAbc=2R,=2R.sinBsinCB*oC图①图②所以，不论△ABC是锐角三角形,直角三角形，还是钝角三角形，都有：誌=盏匕=2R(其中RABC的外接圆的半径).sinC正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径.2.坐标法证余弦定理如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离r=c.设点B的坐标为(x,y)，由三角函数的定义可得：x=ccosA,y=csinA,即点B为(ccosA,csinA),又点C的坐标是(b,0).由两点间的距离公式，可得:a=BC(b-ccosAf+(—csinAf.两边平方得：a2=(b—ccosA)2+(—csinA)222=b+c—2bccosA.以厶ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可证b2=a2+c2—2accosB,c2=a2+b2—2abcosC.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的2倍.余弦定理的第二种形式是:cosA=cosC=b2+c2-a22bc222a+b—c-cosB=a2+c2—b2ac易知：A为锐角？b2+c2—a2>0；222A为直角？b+c—a=0;A为钝角？b2+c2—a2<0.勾股定理可以看作是余弦定理的特例.由此可见：余弦定理可以看作是勾股定理的推广,一、解三角形的常见类型及解法方法链接：在三角形的边、角六个元素中，只要知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°求角A;由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.两边和夹角(如a,b,C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边C；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180求出另一角.在有解时只有一解.三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角A、B;再利用A+B+C=180°，求出角C.在有解时只有一解.两边和其中一边的对角(如a,b,A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求C.可有两解，一解或无解.在解题过程中，也可以先利用正弦定理求解，再利用“三角形内角和定理”和“大边对大角”来检验.例1】DC如图所示，在四边形ABCD中，已知AD丄CD,AD=10,AB=14,/BDA=60°/BCD=135°求BC的长.解在厶ABD中，设BD=X,贝UBA2=BD2+AD2—2BDADcos/BDA,即142=x2+102—210xcos60°,整理得x2—10x—96=0,16sin135解之得x1=16,x2=—6（舍去）.由正弦定理：BCBDsin/CDB=sin/BCD'BC=sin30=82.二、三角形解的个数判断方法链接：已知三角形的两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，也可用余弦定理解三角形.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出边c,即列关于c的方程a2=b2+c2—2bccosA,解出c后要注意验证c值是否与a,b能构成三角形•符合题意的c值有几个，对应的三角形就有几解.若采用正弦定理解三角形，可以结合下
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先判断解的情况，再解三角形•A为锐角A为钝角或直角图形4.4酣…BicV/A关系式a==bsinAa>bbsinA
bawb解个数一解一解两解无解一解无解［例2】已知△ABC中，b=3,c=3逅,B=30°求a的值.解方法一利用余弦定理求解.先将b=3,c=3衬3,B=30°代入b2=a2+c2—2accosB,有32=a2+(33)2—2a33cos30°整理，得a2—9a+18=0.所以a=6或a=3,经检验6和3均符合题意.所以a的值为6或3.方法二利用正弦定理求解.•••csinB=33,•••c>b>csinB./•△ABC有两解.=—^=6,•sinC=^sinCsinB2'•C=60°或C=120°当C=60°时，A=180°—B—C=90°由f.b=6,解得：a=6.sinAsinB当C=120°时，A=180°—B—C=30°由.a=.b=6,解得a=3.所以a的值为6或3.sinAsinB三、三角形的面积公式及应用方法链接：三角形面积的常用计算公式
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