知识讲解-导数的计算-基础(1)

导数的计算【学习目的】1.牢记几种常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2.熟记八个基本初等函数的导数公式，并能精确运用。3.能纯熟运用四则运算的求导法则，4.理解复合函数的构造规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），。要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即（n∈Q）．特别地，。3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sinx）＇=cosx．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cosx）＇=－sinx．5．指数函数的导数：，．6．对数函数的导数：，．有时也把记作：以上常用函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）要点诠释：1.上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：．（ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）．（ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例，当时，．这是一种函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的阐明（1）类比：，（v≠0），注意差别，加以辨别．（2）注意：且（v≠0）．3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前运用代数或三角恒等变形可将函数先化简（也许化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则1．复合函数的概念对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”。2．复合函数的导数设函数在点x处可导，，函数在点x的相应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作．3．掌握复合函数的求导措施（1）分层：将复合函数分出内层、外层。（2）各层求导：对内层，外层分别求导。得到（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数。要点诠释：1.整个过程可简记为分层——求导——回代，纯熟后来，可以省略中间过程。若遇多反复合，可以相应地多次用中间变量。2.选择中间变量是复合函数求导的核心。求导时需要记住中间变量，逐级求导，不漏掉。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简朴初等函数的导数例1.求下列函数的导数：(1)(2)(3)（4）（5）【解析】(1)(x3)′=3x3－1=3x2；(2)()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3(3)（4）；（5）；【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本措施，但运算较繁。运用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，减少运算难度。（2）精确记忆公式。（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。举一反三：【变式】求下列函数的导数：(1)y=(2)y=（3）y=2x3―3x2+5x＋4（4）；【答案】(1)y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4(2（3）（4）∵，∴.类型二：求函数的和、差、积、商的导数例2.求下列函数导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝；(3)y＝lgx－ex；（4）y=tanx.【解析】(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝.(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.(4)=tanx+.【点评】（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和方略。举一反三：【变式1】函数在处的导数等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D法一：∴.法二：∵∴∴.【变式2】求下列各函数的导函数（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。（2）y=x2sinx;（3）y=【答案】（1）∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y＇=3x2+12x+11。（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（3）==【变式3】求下列函数的导数.（1）y＝（2x2－5x＋1）ex；（2）；（3）y＝【答案】（1）y′＝(2x2－5x＋1)′ex＋(2x2－5x＋1)(ex)′＝（4x－5）ex＋（2x2－5x＋1）ex＝（2x2－x－4）ex（2），∴.（3）y′＝[(sinx－xcosx)′(cosx＋xsinx)－(sinx－xcosx)·(cosx＋xsinx)′]＝[(cosx－cosx＋xsinx)(cosx＋xsinx)－(sinx－xcosx)(xcosx)]＝＝类型三：求复合函数的导数例3求下列函数的导数：　　（1）；（2）；（3）；　　　【解析】（1）设μ=1-3x，，则　　。　　（2）设，y=cosμ，则　　。（3）设　　【点评】把一部分量或式子临时当作一种整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐级求导，不能漏掉。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。举一反三：【变式】求下列函数导数.（1）；（2）；（3）.【答案】（1），∴（2），.∴（3），，∴.例4求下列函数导数.(1)；（2）；（3）【解析】(1)令,,（2）　　。（3）设，μ=sinv，，则　　　　在纯熟掌握复合函数求导后来，可省略中间环节：　　　　【点评】（1）复合函数求导数的环节是：①分清复合关系，合适选定中间变量，对的分解复合关系（简称分解复合关系）；②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；③将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解——求导——回代，当省加重中间环节后，就没有回代这一步了，即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。（2）同一种问题可有多种不同的求导措施，若能化简的式子，则先化简，再求导。举一反三：【变式1】求y＝sin4x＋cos4x的导数．【答案】解法一y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．解法二y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【变式2】求下列函数导数：（1）；（2）．求函数的导数（）。【答案】（1）设u=1－2x2，则。∴。（2）．措施一：。措施二：∵，∴。类型四：运用导数求函数式中的参数例5（1），若，则a的值为（）A．B．C．D．（2）设函数，若是奇函数，则=________。【解析】（1）∵，∴，∴，故选A。（2）由于，∴，若是奇函数，则，即，因此。又由于，因此。【点评】求函数的导数的基本措施是运用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常用函数的导数问题，再运用求导公式来求解即可。举一反三：【变式1】已知函数过点（1，5），其导函数的图象如图3-2-1所示，求的解析式。【答案】∵，由，，，得，解得，∴函数的解析式为。【变式2】已知是有关的多项式函数，（1）若，求；（2）若且，解不等式.【解析】显然是一种常数，因此因此，即因此∵，∴可设∵∴由，解得