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求数列通项公式的常用方法--(有答案)

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求数列通项公式的常用方法--(有答案)求数列通项公式的常用方法一、累加法1.适用于:----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2.解题步骤:若,则两边分别相加得例1已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。练习.已知数列满足,,求此数列的通项公式.答案:裂项求和评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;=3\*...

求数列通项公式的常用方法--(有答案)
求数列通项公式的常用方法一、累加法1.适用于:----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2.解题步骤:若,则两边分别相加得例1已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。练习.已知数列满足,,求此数列的通项公式.答案:裂项求和评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;=3\*GB3③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;=4\*GB3④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。二、累乘法1.○。------------适用于:----------这是广义的等比数列,累乘法是最基本的二个方法之二。2.解题步骤:若,则两边分别相乘得,例2已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为练习.已知,求数列{an}的通项公式答案:-1.评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1.形如,其中)型(1)若c=1时,数列{}为等差数列;(2)若d=0时,数列{}为等比数列;(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.解题步骤:设,得,与题设比较系数得,所以,所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以即:.例3已知数列中,,求数列的通项公式。解:又是首项为2,公比为2的等比数列,即练习.已知数列中,求通项答案:2.形如:(其中q是常数,且n0,1)=1\*GB3①若p=1时,即:,累加即可.=2\*GB3②若时,即:,求通项方法有以下三种方向:=1\*romani.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即:,令,则,然后累加求通项.=2\*romanii.两边同除以,目的是把所求数列构造成等差数列。即:,令,则可化为,然后转化为待定系数法第一种情况来解。=3\*romaniii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例4已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略解法三(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略3.形如(其中k,b是常数,且)待定系数法解题步骤:通过凑配可转化为;比较系数求x、y;解得数列的通项公式;得数列的通项公式。例5.在数列中,,求通项.(待定系数法)解:原递推式可化为比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列,首项,公比为。即:,故。练习在数列中,求通项.(逐项相减法)解:,=1\*GB3①时,,两式相减得.令,则知即=2\*GB3②再由累加法可得.亦可联立=1\*GB3①=2\*GB3②解出.4.形如(其中a,b,c是常数,且)基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。例6已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得,所以由,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。5.形如时将作为求解分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例7已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)则,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以练习.数列中,若,且满足,求.答案:.四、不动点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义:函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。分析:由求出不动点,在递推公式两边同时减去,再变形求解。类型一:形如例8已知数列中,,求数列的通项公式。解:递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1∴,……类型二:形如分析:递归函数为(1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,∴(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。例9.设数列满足,求数列的通项公式.(答案:)分析:此类问题常用参数法化等比数列求解.解:对等式两端同时加参数t,得:,令,解之得t=1,-2代入得,,相除得,即{}是首项为,公比为的等比数列,=,解得.练习.已知数列满足,求数列的通项答案:五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0,例10.设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.解:两边取对数得:,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,∴练习数列中,,(n≥2),求数列的通项公式.答案:六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例11已知数列满足,求数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,七、阶差法(逐项相减法)1、递推公式中既有,又有分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。例12已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。解:∵对任意有=1\*GB2⑴∴当n=1时,,解得或当n≥2时,⑵=1\*GB2⑴-⑵整理得:∵各项均为正数,∴当时,,此时成立当时,,此时不成立,故舍去所以练习.已知数列中,且,求数列的通项公式.答案:
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