道极值点偏移问MATCH_
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_1713554209450_0的详解我也叫“春”编写练习1已知函数f(x)=lnX—ax存在两个不等的零点x1,x2(x-^
2e;(2)求证:x1x2>e2；证明:我们先利用条件，挖掘信息，为解决问题做准备工作:f(x)=lnx-ax的定义域是(0,+Nf'(X)J-aX当a<0时,多只有一个零点。1f'(X)=—+(—a):>0，函数f(X)=lnx-ax在(0,+处)上是增函数，顶Xa<0不合
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
；当a>0时,aClf'(x)=-—a(0丄】，Ia丿(1〕f'(x)_-^^X>0；函数f(x)=lnx-ax在0」]上是增函数Va丿(1〕f、aIX—II1,址，f'(x)=—__<0；函数f(x)=lnx—ax在la因此，f(x)=lnx—ax的极大值为门丄-1，要使函数la丿af(X)=Inx-ax存在两个不等的零点x1,x^x^>x2)，必有：f]=ln」-1A0;得:la丿aF面我们着手证明：x1+x^2e；2我们的思路是：x^x^>2e；a“X,+X2:>2e"明显是极值点偏移问题，但是x=e不是函数f(x)=lnx-ax的极值点。因此，如果设成“F(x)=f(X)-f(2e-x)”是不能解决问题的。由于x=2是函数f(x)=lnx-ax的极值点，因此设成“F(x)=f(x)-f忆-xala丿是可能解决冋题的。设F(x)=f(X)-ff2-/)(定义域和f(X)=lnx—ax相同均为(0,+乂))，则:2丿F'(X)=f'(X)-f-X)=f'(x^f1--Xla八a丿「laf，*f1Llx"aj12_a--Xla2--xa"2<2、亠一<2)u=x-XIOex<—，有：OCX—-X丿1a丿la丿我们研究2I1a有：Ovx々-x2a2当0-a2，X"-—X1a不在f（X）的同一单调区间上，需要调整。根据函数I1|X2蔦p-X^-laaF面我们着手证明:2X1X2>e；我们的思路是:门1X1X2>->e2；设H(x)=f(x)-f[4-]，0>H(X2);<-f2IkaX1丿1CX-Ic—=a由:2有f(X1)fa2x1丿>0ax11>-；aX1,X2(X|CX2)是函数f(x)=1nx-ax的两个不等的零点，有：f(X1)=f(X2)；于是:f(X2)=f(xj，有：f(X2)Af仁L由于:x^a，^1f1)>一，函数f(x)=lnx-ax在I-,母上是减函数,a于是由f(X2)fa2X1丿得:ax11X2X1<—，a得不出：x2x^e2.2eV—2"a我们已经看到，〈<1丫XlX2>1-3丿=1『e>e2这个思路行不通。事实上，121X2X1<—；也就是说，e0；函数g(x)XInX—1InX-——-a在(0,e牡是增函数；XInX——a在(e,)上是减函数;XX迂(0,e)，(因此,),g'(x)—一<0；函数g(x)=Xg(x)=—-a的极大值为g(e)=——a，要使函数g(x)=—-a存在两个TOC\o"1-5"\h\zXeXHYPERLINK\l"bookmark14"\o"CurrentDocument"11不等的零点x1,x2(x-^>x2)，必有：g(e)=-—a>0；得：一0；有:0C为e2；设H(x)=g(x)-g俚［则:lx丿H'(x)=g'(x)-gf或Hlx丿I丄g'wW'F'Xlx丿22”\1Inueg'(u)=-Un-—21-In—u1-Inx亠ex=====2—。,2xxQIXJ1|1-In—1-InX亠x=2~+2Xe1-InX2X1-2+InX+2—e1-InX-2~X-1+Inx…f11)(InX-1xX-eXX+e)=^~2eX(InX—1YX—eYX+e\xye)，H'(x)=—訂—fe2)>0；函数H(X)=g(x)—g|—在(0,e)上IX丿是增函数;xpe,母)，H(x)二(Inx-1Xx-eXx+e)「e2)>0；函数H(x)=g(x)—g|—在IX丿(e,垃)上是增函数;(|r(x)=(lnx—qx-eXx+eLinx—12(X-e)(x+e)x-e2其中(X-e)(x+e)>0(x:>0)，lnX"1
表
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示两点(x,lnx),(e,1)确定的直线的斜x-e率；从图上可以看出,斜率^^^>0，但我们没有用这一点，而是采取了分段讨论的简X—e单办法解决了问题)因此，函数H(x)在(0,址)上是增函数;由0cxiceVX2，有：H(Xi)cH(e)cH(X2)，得:H(Xi)—=ex1e..2211ceeX2>e二—<—二0£—<—=eX2eX2e10<捲eX1lx'20c巳e{e2I一>eIn函数g(x)在(e,邑)上是减函数，于是:g(X2)e增函数，于是:—::2e2为A—=x2x1>e;X2问题是解决了。该反思和总结了:、本题的完整题目是:已知函数f(x)=lnx—ax存在两个不等的零点x1,x2(x1e；21其中（1）求a的取值范围；（2）求证：Xi+X2》一；（4）求证：XiX2W—系笔者所加。aa一般地，这道题目是下面这个形式:已知函数f（x）=lnx—ax存在两个不等的零点x1,x2（x^e2；上面的解法就是只有（2）的情形、本题中函数变形后零点不变函数f（X）=lnx-ax的零点是Xj,X2（xi工X2hO）；P帆f(x\lnX函数g(x)==——-a的零点是为，x2(x1X2H0)；X由于X>0，因此：f（X），g（x）=丄①零点想同，天经地义;X三、本题中函数变形后极值点改变函数f（x）Tnx-ax的极值点是：x=-（与参数a有关）a函数g(x)=f(X)-lnX=-a的极值点是：x=e（与参数a无关）；X大家可以想一想其中的缘由。四、f（X）TnX-ax有两点零点还需要点严格的处理X(我们取f(x)=lnx—-)，fX)rlFxa—图像如下:3应该证明：limf（X）=A^limf仪）=二，就是说，函数f（X）=lnx—ax在两X—JP屮X一昇头均可穿过x轴，从而存在两个零点。但这都超过高中内容（因此，题目也不要求大家证明1当一＞e时，函数f（x）=lnX-ax存在两个零点。两个零点的大致范围也是通过数形结合a来确定的。）〔2、一、,四、对函数F（X）=f（X）-fI—-x进行求导是有技巧的Va丿我们对函数F(x)=f(x)-f\--xla/进行求导，研究单调性，有两条技术路线;技术路线一，将F（X）=f（X）-f-X】具体化la丿这条路线运算量比较大，请大家验证;技术路线二：用符合函数求导知识求导，具体如下:F'(X)=f'(X)-flaf-x]=f'(X)+f淫-Xlaf'm丄-a/、m<1、■I——aI+lx丿1--X2a2当00，F(x)=f(x)-f〔2—X〕是增函数；但是，接下来，需要在:f2)la丿XLX丿222=In——a—：=In——2c0(条件aa12e”之猫画“证明Xix^e”之虎（一）们已经看到，在怡二1是函数零点这个条件下，确实可以设函数a“H（X）=f（X）-f41”，但得出的结论是:laX丿X2X1V4；和我们预期的结论X2X,>4aa反向。为此，我们以为运算出错，多次进行演算。（二）我们已经看到,X1X2>!-la丿=x-ix21一>e.a¥>e2这个思路行不通。事实上,■e”的关键之式便是H（Xi）<0e，有—2>e2，e2；laX丿
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