变力做功的四值求解法-中华中学

利用四“值”求解变力做功南京市中华中学（210006）王高功的计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 WFScos只适用于恒力做功，而我们常常遇到的是变力做功的问题。笔者将变力做功问题进行适当的转化，成为变力的恒定值、平均值、有效值做功以及通过量度值求功的问题。一、恒定值求变力做功通常是采用微元法，即：将运动过程无限分小，每一小段就可看成是恒力做功，然后把各小段恒力做的功求出来，再求出代数和，即为变力所做的功。实质就是将变力转化为恒力。例1将质量为m的物体由离地心2R处移到地面，R为地球半径，已知地球质量为M，万有引力恒量为G，求在此过程中万有引力对物体做的功。解析此过程中万有引力大小不断改变，是变力做功，因此我们把此过程分成无限多个小段，如图1所示，各分点离地心的距离分别为r1、r2、⋯、rn等。则在第k到第k+1个分点间万有引力对物体做的功为WkGMmrkrk1GMmrkrk1GMm11rk2rkrk1rk1rk整个过程中万有引力做的功为WW1W2Wn111111GMmr1r3r2rnrn1r2GMm2R图1若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算该恒力做的功，使问题变得简单易解。例2人在A点拉着绳通过光滑的定滑轮，吊起质量m＝50kg的物体，如图2所示，开始绳与水平方向的夹角为，当人匀速地提起物体由A点沿水平方向运动而到达B点，此时绳与水平方向成角，求人对绳的拉力所做的功。解析：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变化，无法利用恒力做功公式直接求出人对绳的拉力所做的功，若转换研究对象就不难发现，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相同，而绳对物体的拉力是恒力，故设滑轮离地面的高度为h，则h(cot30cot60)s图2人由A走到B的过程中，物体G上升的高度等于滑轮右侧的绳子增加的长度，即人对绳子做的功为WGh，代入数据可得：W≈732J二、平均值如果做功的力是变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可用力的平均值等效代入功的公式，即用W=Fscosθ求解.1例3用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm.，问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次打击做的功相等）解析：铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做功，但阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx,可用平均阻力来代替。如图3，第一次击入深度为x1,平均阻力F11图3=kx1,铁锤做功为W1=F1x1=1kx12.221第二次击入深度为k（x2+x1）,位移为x2-x1,铁锤做功为x1到x2,平均阻力F2=2W2=F2（x2-x1）=1k（x22-x12）.2两次做功相等：W1=W2.解后有：x2=2x1=1.41cm,x=x2-x1=0.41cm.三、量度值功是能量转化的量度。由此，对于大小、方向随时间变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，由其做功的结果——动能的变化量求出，即：W=Ek。也可根据功能原理W=△E,从能量转化多少的角度来求解.例4如图4所示，在水平放置的光滑板中心开一个小孔O，穿过一细绳，绳的一端系住一个小球，另一端用力F拉着使小球在平板上做半径为r的匀速圆周运动，在运动过程中，逐渐增大拉力，当拉力增大为8F时，球的运动半径减为r/2，求在此过程中拉力所做的功。解析：由于小球运动过程中作用在绳上的拉力是逐渐增大，所以是一个变力做功问题，这里利用动能定理求解更简单。由题设条件，绳的拉力提供小球做匀速圆周运动所需要的向心力，有Fmv2，Ek1mv21Fr图4r228Fmv12E1mv22Frr/2k121根据动能定理，拉力所做的功WEk1Ek3Fr2例5（2001年全国高考题）一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的.在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图5所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径ｒ＝0.100m，井的半径R＝2ｒ，水的密度ρ＝33，大气压p01.00×10kg/m＝1.00×105Pa.求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功（.井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10m/s2）解析：从开始提升至管内外水面高度差为h0=10m这一过程中拉力逐渐变大，是变力，要用功能关系求解。以后活塞与水面之间出现真空，拉力F=p0πr2为恒力。可用功的公式求解。2大气压p0能够支持的水柱高h0p010mg图5图6设管内水柱上升h1时，管外水柱下降h2,见图6。因为总体积不变，即r2h1R2r2h2解得h21h13当h1+h2=h0时，管内液面不再随活塞上升（活塞下出现真空）此时h3h7.5m140H=9m＞h1,故活塞下有9m-7.5m=1.5m长的真空区做的功一部分转化为水的重力势能，即2324W1Eprg8h01.1810J一部分克服大气压力做功WF(Hh)r2p(Hh)4.71103J2101故拉力F所做总功WW1W21.65104J四、有效值在交变电流中，电流是随时间按正弦规律变化的，我们在求交变电流做功时应用了等效的方法，转化为用电流的有效值来求电功。我们把这种“有效值”的思想与方法迁移到变力做功求解上来，往往事半功倍。例6如图7所示，一个被x轴与曲线方程y=0.2sinl0πx／3(m)所围的空间中存在着匀强磁场．磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.2T．正方形金属线框的边长是0.40m，电阻是0.1Ω，它的一条边与x轴重合．在拉力F的作用下，线框以10.0m／s的速度水平向右匀速运动．试求：(1)拉力F的最大功率是多少?(2)拉力F要做多少功才能把线框拉过磁场区？图7解析：拉力F的最大功率可以用瞬时功率公式p=Fv，v一定，在拉力最大时，有最大功率。而拉力是按正弦规律变化的变力，我们可以借助有效值的思想来求解拉力做的功。（1）因为线框水平向右匀速运动，所以F=F安=BIy=B2y2v/Rym=0.2m3PmB2ym2v0.220.2210W0.16WFmv0.1R（2）任一时刻拉力的大小FB2y2v4y2R而y=0.2sinl0πx／3是按正弦规律变化的，显然F是一个变力，直接用功的公式很难求解，借助有效值的办法求出正方形的一边通过磁场拉力做的功为22W4Y2x4ymx40.20.3J0.024J22因为要把整个线框拉过磁场区，所以拉力做的功为：W总=2W=0.048J4