2023北师大版新教材高中数学必修第一册第一章 预备知识(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若A={1,2,3},则( )A.1∈AB.1⊆AC.{1}∈AD.⌀∈A2.已知命题p:∀x>1,2x2-3=0,则命题p的否定是( )A.∃x>1,2x2-3=0B.∃x>1,2x2-3≠0C.∀x>1,2x2-3≠0D.∀x≤1,2x2-3≠03.已知全集U=R,A={x||x|<3},B={x|-1
b,那么下列不等式一定成立的是( )A.-2a>-2bB.c-a>c-bC.a+c>b+cD.a2>b25.给出下面三个推导过程:①因为a,b是正实数,所以ba+ab≥2ba·ab=2;②因为a∈R,且a≠0,所以4a+a≥24a·a=4;③因为x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy·-yx=-2.其中正确的推导为( )A.①②B.②③C.①③D.①②③6.当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.72,+∞D.-∞,727.定义:设A是非空实数集,若∃a∈A,使得∀x∈A,都有x≤a(x≥a),则称a是A的最大(小)值.若B是一个不含零的非空实数集,且a0是B的最大值,则( )A.当a0>0时,1a0是集合1x|x∈B的最小值B.当a0>0时,1a0是集合1x|x∈B的最大值C.当a0<0时,-1a0是集合-1x|x∈B的最小值D.当a0<0时,-1a0是集合-1x|x∈B的最大值8.已知集合A={x|x2-x-6≥0},B={x|x2-3ax+4<0},若a>0,且A∩B中恰好有两个整数,则a的取值范围是( )A.2915,209B.2915,209C.53,2915D.53,2915二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列关于集合的说法错误的有( )A.很小的整数可以构成集合B.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合C.1,2,-12,0.5,12这些数组成的集合中有5个元素D.空集是任何非空集合的真子集10.下列命题正确的是( )A.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B.命题“∀x<1,有x2<1”的否定是“∃x<1,使x2≥1”C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件11.已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素,则实数a的取值范围可以为( )A.0≤a≤1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤112.记max{a,b}=a,a≥b,b,a0,y>0,x+2y+xy=30,则( )A.xy的最大值为18B.x+2y的最大值为12C.x+y的最小值为82-3D.max{x+2,2y+2}的最小值为8三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M为 .(只需要写出一个满足条件的集合即可) 14.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1,2),则不等式bx2-ax-c>0的解集为 . 15.若“∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是 . 16.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:①男学生人数多于女学生人数;②女学生人数多于教师人数;③教师人数的两倍多于男学生人数.(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; (2)该小组人数的最小值为 .(第一空2分,第二空3分) 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3-2m≤x≤2+m},集合B={x|x2-4x+3≥0}.(1)当m=1时,求A∩B,A∪(∁RB);(2)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围.18.(12分)已知p:x2-2x-35≤0,q:x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0(其中实数m>2).(1)分别求出p,q中关于x的不等式的解集M和N;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.19.(12分)已知x>y>0,z>0,求证:(1)zx8xyz.20.(12分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0(a<0).(1)当a=-5时,求此不等式的解集;(2)求关于x的不等式ax2-3x+2>-ax+5的解集.21.(12分)“豫东粮仓”商丘市立足打造全国重要的粮食生产核心区,推进农业供给侧结构性改革,不断提高农业质量效益和竞争力.商丘市某食品厂引进一条先进生产线生产某种食品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=x25-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨食品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨食品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大年利润?最大年利润是多少?22.(12分)若集合A具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,1x∈A.则称集合A是“好集”.(1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;(3)设集合A是“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有yx∈A.答案与解析第一章 预备知识1.A2.B3.D 易得A={x|-3b,∴-2a<-2b,A不正确;c-ab+c,C正确;当a,b为负数时,a2>b2不成立,D不正确.故选C.5.C ①由于a,b是正实数,所以ba,ab是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;②a∈R,且a≠0不符合基本不等式的条件,所以②推导错误;③由xy<0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将xy+yx整体提出负号后,-xy,-yx为正数,符合基本不等式的条件,故③推导正确.6.A 令y=x+1x-1(x>1),则y=x-1+1x-1+1≥2+1=3,当且仅当x=2时,等号成立.由题意知a≤ymin,所以a≤3.故选A.7.D 当a0<0时,集合B中的任一元素x≤a0<0,从而1x≥1a0,所以-1x≤-1a0,故选D.8.C 易得A={x|x≥3,或x≤-2},B≠⌀.令y=x2-3ax+4,则Δ=9a2-16>0,解得a>43或a<-43,又a>0,所以a>43.易得B=x|3a-9a2-16243,16−12a+4<0,25−15a+4≥0,解得531⇒1a<1,但1a<1⇒/a>1,故A正确;全称量词命题的否定是存在量词命题,故B正确;x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4,但x2+y2≥4⇒/x≥2且y≥2,故C错误;a≠0⇒/ab≠0,但ab≠0⇒a≠0,故D正确.故选ABD.11.BC 当a=0时,方程为-2x=0,解得x=0,此时方程只有一个实数根,符合题意;当a≠0时,Δ=4-4a2≤0,解得a≤-1或a≥1.综上,当a=0或a≤-1或a≥1时,集合A中至多含有一个元素.故选BC.12.ACD 由题意得xy=30-(x+2y)≤30-22xy,当且仅当x=2y,即x=5,y=52时等号成立,令t=xy,则t2+22t-30≤0,t>0,解得03,所以当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确.故选ACD.13.答案 {a1,a2}(答案不唯一)解析 ∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},故M中必有元素a1,a2,又M⊆{a1,a2,a3,a4},∴M中可能有元素a3,a4.进而可写出M.14.答案 (-∞,-2)∪(1,+∞)解析 由已知得a<0,且对应方程的根为-1和2,∴-ba=−1+2,ca=−1×2,即b=−a,c=−2a,∴不等式bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a>0,即x2+x-2>0,解得x<-2或x>1.15.答案 a≤3解析 ∵“∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0”为真命题,∴a≤x2-2x在x∈[0,3]上有解.设y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],则当x=3时,y取得最大值3,∴实数a的取值范围是a≤3.16.答案 (1)6 (2)12解析 设女学生、男学生、教师人数分别为x,y,z(x,y,z∈N+),则z2+m,解得m<13,满足题意;(7分)若A≠⌀,则3−2m≤2+m,3−2m>1,2+m<3,解得13≤m<1.(9分)综上,实数m的取值范围为m<1.(10分)18.解析 (1)由x2-2x-35=(x-7)(x+5)≤0,得M=[-5,7];(2分)x2-3mx+(2m-1)(m+1)=[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,∵m>2,∴2m-1>m+1,(4分)∴N=[m+1,2m-1].(6分)(2)∵p是q的必要不充分条件,∴N⫋M,(8分)∴-52m-1,(10分)解得-6≤m≤4,又m>2,∴2y>0,所以xy>0,1xy>0,(2分)于是x·1xy>y·1xy,即1y>1x,(4分)由z>0,得zx0,y>0,z>0,所以x+y≥2xy,x+z≥2xz,y+z≥2yz,(9分)所以(x+y)(x+z)(y+z)≥2xy×2xz×2yz=8xyz,(10分)当且仅当x=y=z时,等号同时成立,(11分)又x>y,所以(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.(12分)20.解析 (1)当a=-5时,不等式为-5x2-3x+2>0,即5x2+3x-2<0,可化为(5x-2)(x+1)<0,(3分)解得-1-ax+5可化为ax2+ax-3x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0,又a<0,所以不等式为x-3a(x+1)<0.(6分)①当a<-3时,3a>-1,不等式的解集为x-1
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