PAGEPAGE12010-2011学年第二学期常微分方程考试AB卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空
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快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（每题4分，共20分）1.形如（连续）的方程是一阶线性微分方程，它的通解为.2.形如的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为.3.形如的方程为欧拉方程,可通过变换把它转化成常系数方程.4.满足初始条件：=0,=1的特解5．5.微分方程的解存在且唯一的条件是:在R上连续且满足利普希茨条件下列微分方程的解（每题5分，共30分）1．=解：令x+y=u,则=-1……………………….3-1=u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.……………………….52．解：两边同乘以得：……………………….3故方程的通解为：……………………….53．解：令，则，两边对x求导，得，……………………….3解之得，所以，……………………….4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.……………………….54.解：特征方程有三重根，，……………………….3故通解为……………………….55.解：特征方程有根0,齐线性方程的通解为x=……………………….3又因为0是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=，B=……………………….4故通解为x=……………………….56.解:原方程可化为………………………1分离变量可得…………………………………………………..3两边积分可得…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:……………………….5求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率.解：设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：……………………….3由题意得即也即两边同除以，得………………….5即……………………….7即……………………….10为方程的解。2.满足初值条件解:方程组的特征值,……………………….2对应特征值的特征向量应满足对任意常数,,取,得……………………….4对应特征值的特征向量应满足对任意常数,,取,得……………………….6所以基解矩阵为:……………………….8=………….103.求方程通过点的第二次近似解.解:令，于是…………………….5…………….10五、应用题（10分）摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此即………………….5其中，解之得又时，；时，。故得，从而方程可化为………………….7当时，有米/秒……………….8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。………………….10六、证明题（10分）1、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理:即:设分别是方程组的解，则是方程组的解.证明：（1）（2）分别将代入（1）和（2）则………………….5则令即证………………….102010-2011学年第二学期常微分方程考试B卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空题（每题4分，共20分）1.是恰当方程的充要条件是；其通解可用曲线积分
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示为.3.形如的方程是2阶非齐次(“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为.4.若是同一线性方程的基解方阵，则它们间有关系.5．5.微分方程的解存在且唯一的条件是:在R上连续且满足利普希茨条件二、下列微分方程的解（每题5分，共30分）1.解：令…………….1则：即得到故即…………………….4另外也是方程的解。.…………………….52.=解：y=()…………………….3=[-e()+c]=ce-()是原方程的解。…………………….53．。设…………………….3…………………….4，解为…………………….54.解：特征方程有复数根,……….3故通解为…………………….55.解:原方程可化为故…………………….56.解：特征方程有根-2,-4…………………….1故齐线性方程的通解为x=…………………….3-2是特征方程的根，故代入原方程解得A=……………….4故通解为x=……………….5三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1.解：特征方程有2重根-a………………..2当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解为s=,……………………………………..6当a-1时，齐线性方程的通解为s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s=+…………………………..102.求其基解矩阵.解:det（E－A）=0得＝，＝－……………….3对应于的特征向量为u＝，（0）对应于的特征向量为v＝，（）……………….5∴u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量Ф(t)=是一个基解矩阵……………….103.求方程通过点的第二次近似解.解:令，于是……………….5…………….10五、应用题（10分）1．求一曲线，过点(1,1),其任一点的切线在轴上的截距等于.解：设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：……………………….3由题意得两边同除以，得………………………….5即……………………….7即………………….……….8将代入上式得。………………………………………….10六、证明题（10分）试证：如果是=Ax满足初始条件＝的解，那么＝[expA(t-t)]证明：由于＝Ф(t)Ф-1(t0)＋Ф(t)……………………….5又因为Ф(t)=expAt,Ф-1(t0)=(expAt0)-1=exp(-At0),f(s)=0,又因为矩阵（At）·（-At0）=（-At0）·（At）……………………….7所以＝[expA(t-t)]……………………….10
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