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试题
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2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题（7月6日8:30至11:00）一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知，，，则符合上述条件的共有（）组A．100B．140C．180D．2002．已知集合，并且集合，则与的面积比为（）A．B．C．D．3．已知的三边，，成等比数列，，，的对角依次为，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．的三个内角为，，，若，则的最大值为（）A．B．C．D．5．正项数列满足，，，，单调递增且成等比数列，为的前项和，则的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（）A．5368B．5367C．5363D．53626．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的半径为（）A．B．C．D．二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若非零复数满足，则．8．不等式的解集为．9．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为．10．如图所示，在中，，，，则过点，以，为两焦点的双曲线的离心率为．11．设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合，令且，表示集合中元素的个数，则的最大值与最小值之和为．12．抛物线的参数，满足，则当，变动时，抛物线的顶点的轨迹方程为．三．解答题（本题共4道小题，满分90分）13．（本小题满分20分）函数的定义域为，已知时，，并且对任意，都有．（1）讨论函数的奇偶性以及单调性；（2）设集合，，，且，若且，试求实数的取值范围．14．（本小题满分20分）如图，锐角外心为，直线和分别与边，交于点，．直线交外接圆于点，．若，证明：是等腰三角形锐角三角形．15．（本小题满分25分）已知数列中，，对于任意的，有．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（本小题满分25分）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点，连结及抛物线顶点的直线交准线于，连结及的直线交准线于，并且与都平行于轴．（1）证明：直线过定点；（2）求四边形的面积的最小值．2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考
答案
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及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准
规定
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的评分档次给分。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知集合．当时，实数的取值范围是（）．(A).(B).或(C).(D)．或1.(B).2．过原点的直线l交双曲线于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（）．(A).(B).(C).(D)．42.(D)．3．设均为非零复数，令，若，则的值为（）．(A).1(B).(C).(D)．3.(C).4．设是上的单调函数，且对任意，都有．若是方程的一个解，且，则的值为（）．(A).1(B).2(C).3(D)．44.(B)．5．内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（）．(A).30(B).33(C).36(D)．395.(C)．6．已知实数满足．则的最大值是（）．(A).7(B).(C).(D)．36.(A).二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若，则的最大值是．7..8．长方体中，，则异面直线与的距离为．8..9．椭圆的离心率为，斜率为1且过点的直线与椭圆交于A、B两点．设O为坐标原点，若，则该椭圆的方程是．9..10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有种．10..11．已知函数设方程在区间内所有实根的和为，则数列{}的前项和=．11..12．数列{}中，，则此数列的通项公式=．12..三．解答题13．设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：.13.解:(Ⅰ)∵是方程的两个根，∴，∴，∴，同理可得∴，………………（5分）（Ⅱ）∵，当时，，∴在上单调递增．………………………（10分）（Ⅲ）∵，，∴∴由（Ⅱ）可知，，同理，∴，……………………………（15分）由（Ⅰ）可知，，，，∴，∴．……………………（20分）14.已知数列{}满足为实数）．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若=-2，求证：．14.解:(Ⅰ)当时，由得，即时，.…………………………（5分）下面证明当时，.当时，成立；设当时，成立；则当时，，故对所有，成立.当时，成立，故对所有，成立.综上，的取值范围是.……………………………（10分）（Ⅱ）当时，（），（），…………………（15分）.……………（20分）15．如图，锐角△ABC中，AB
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