10mjt-变化率与导数、导数的计算

第10讲变化率与导数、导数的计算♦高考导航顺风启程・最新考纲常见题型1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.导数的几何意义是必考内容，既13.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x,y有选择题，又有填空题，也常出23J—占At1=1,'kA-现在解答题第1冋中，难度较小，=x,y=x,y=涉的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则中、低档题目，占4〜5分.求简单函数的导数.4A自由回扣［知识梳理］导数的概念⑴函数y=f(x)在x=xo处的导数称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率limfxo+[x乞=|计斗为函数y=f(x)在x=xo处的导数，记作f'(xo)或y'|x=xo,△xoAxAFoAx即f'(xo)=ijmo△=|imfxo+AxJxLAxafoAx'导数的几何意义函数f(x)在点xo处的导数f'(xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(xo,yo)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—yo=f'(xo)(x^xo).⑶函数f(x)的导函数称函数f'(x)=limfx+A[—fx为f(x)的导函数.AFoAx2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xn(n€Q)f'(x)=nxn1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=—sinxf(x)=ax(a>o且a丰1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=ef(x)=logax(x>0,a>0且a*1)f'(x)=lv'xlnaf(x)=lnx(x>0),1f'(x)=-3•导数的运算法则[f(x)±(x)]'=f'(X)±'(x)；[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3瓷’=£护F0)•［知识感悟］辨明三个易误点利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(xn)'=nxn「1与指数函数的求导公式但%)'=aina混淆.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.导数运算的技巧要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商(及其复合运算)的形式，再利用运算法则求导数；对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导.［知识自测］某质点的位移函数是s(t)=2t当t=2时，a(2)=v'(2)=12X2—10=14.［答案］A(2018湖南怀化一模)如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=—x+8,则f(5)+f'(5)=()—2gt［解析］由v(t)=s'(t)=6t—gt,a(t)=v'(t)=12t—g,(g=10m/s2),则当t=2s时，它的加速度是()A.14m/s2B.4m/s222C.10m/sD.—4m/sD.0ci［解析］根据图象知，函数y=f(x)的图象与在点P处的切线交于点P,f(5)=-5+8=3,f'(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率，二f'(5)=-1;•••f(5)+f'(5)=2•故选：A.［答案］A(天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x€(0,+^)，其中a为实数，f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3，贝Ua的值为.［解析］f'(x)=a(1+Inx),「.f'(1)=a=3.［答案］3题型一导数的计算(基础保分题，自主练透)已二」(1)求下列函数的导数：(i)y=(1-.x)1+Inx⑵y=T；y=tanx;y=3xex-2x+e；•y'=x-1-_1311=—?x—2—?x—2,［解］(1)•-y=(1-S)［+土丿=±-&=x-2―x1,1(2)y'x—Inx_(Inx)x—xInxxx=x—Inxx,i'sinx\(sinx'cosx—sinx(cosx'⑶y=cosx=cosxTOC\o"1-5"\h\zcosxcosx—sinx—sinx1=2=.cosxcosxy=(3xeY—(2x)'+e'=(3丫ex+3x(ex)'—(2x)'=3x(ln3)ex+3xex—岔门2=(In3+1)(3e)x—2x|n2.方法感悟导数计算的方法连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；3•对数形式：先化为和、差的形式，再求导；4•根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导；5•三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；提醒：求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.【针对补偿】求下列函数的导数:y=x2sinx；1y=Inx+^；(3)y=cosx22［解］(1)y'=(x)'sinx+x(sinx)=2xsinx+x2cosx.(2)y'=Mx+x)=(lnX)'+打(3)y'(cosx)'ex—cosx(ex丫tx2(e)sinx+cosxxe题型二导数运算的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018湖北重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f'(x)，且满足关系式f(x)=TOC\o"1-5"\h\zx2+3xf'(2)+Inx,则f'(2)的值等于()(2)在等比数列｛an｝中，a1=2,a$=4,函数f(x)=x(x—a“(x—a2)…(x—a8),则f'(0)的值为.［解析］(1)因为f(x)=x2+3xf'(2)+lnx,1所以f'(x)=2x+3f'(2)+-,x9所以f'(2)=2X2+3f'(2)+-，解得f'(2)=-9.(2)因为f'(x)=x'•(x-ai)(x-a2)•…(x-比)］+［(x-ai)(x-a2)•…(x-a8)］'x=(x-ai)(x-a2)(x-a8)+［(x-ai)(x-a2)…(x-a8)］'x,所以f'(0)=(0—ai)(0—a2)…(0—a8)+0=aia2…a8.又数列｛an｝为等比数列，所以a2a7=出玄6=da5=aia8=8,所以f'(0)=84=4096.［答案］(1)C(2)4096方法感悟在求导过程中，要仔细 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误.【针对补偿】TOC\o"1-5"\h\z•若函数f(x)=ax4+bx018+c满足f'(1)=2，贝Vf'(-1)等于()A•-1B•-2C.2D•0［解析］•/f(x)=ax4+bx2+c,「.f'(x)=4ax+2~018，即卩f'(2018)=-(2018+1)=-2019.［答案］—2019题型三导数的几何意义(高频考点题，多角突破)考向一求切线方程(2018豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)=2exsinx,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x［解析］因为f(x)=2esinx,所以f(0)=0,f'(x)=2e(sinx+cosx)，所以f'(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.［答案］B考向二求切点坐标+2bx.又f'(1)=2,•••4a+2b=2,•••f'(-1)=-4a-2b=-2.［答案］B已知f(x)=^x2+2xf'(2018)+2018lnx,贝Vf'(2018)=.［解析］由题意得f'(x)=x+2f'(2018)+2018所以f'(2018)=2018+2f'(2018)x(高考江西卷)若曲线y=e「x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.［解析］设P(xo,y0)，因为y=ex,所以y'=—ex,所以点P处的切线斜率为k=—e—x0=—2,所以一x0=In2，所以x0=—In2,所以yo=eln2=2,所以点P的坐标为(—In2,2).［答案］(—In2,2)考向三求参数值127已知f(x)=Inx,g(x)=^x+mx+?(mv0)，直线I与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1,f(1))，则m的值为()A.—1B.—3C.—4D.—21［解析］•/f，(x)=丄，二直线I的斜率为k=f'⑴=1,x又f(1)=0,.・.切线I的方程为y=x—1.g'(x)=x+m,设直线I与g(x)的图象的切点为(X0,y°),17则有x0+m=1,y0=x0—1,y0=^x2+mx0+,mv0,于是解得m=—2,故选D.［答案］D2(2015高考新课标卷n)已知曲线y=x+InX在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则a=.［解析］因为y'=1+所以y'lx=1=2，故切线的方程为y—1=2(x—1)，即2x—y—1=0.联立2x—y—1=0<丿2y=ax+a+2x+1,由△=0,得a=8.［答案］8考向四切线方程的应用已知曲线f(x)=xn1(n€N)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为Xn,贝VIOg2017x1+log2017X2+…+IOg2017x2016的值为.［解析］f'(x)=(n+1)xn,k=f'(1)=n+1,点P(1,1)处的切线方程为y—1=(n+1)(x—1),令y=0,得x=1—nn+1,017X2016=lOg2017(X1X2…X2016)=—1.［答案］—1方法感悟导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y=f(x)在点(xo,f(x。))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x=xo；⑵注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo))处的切线方程是y—f(xo)=f'(xo)(x—xo)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.【针对补偿】(2018成都质检)已知函数f(x)=—1x3+2x2+2x,若存在满足OWx°w3的实数心使得曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处的切线与直线x+my—10=0垂直，则实数m的取值范围是()A.［6,+^)B.(―汽2］C.［2,6］D.［5,6］［解析］f'(x)=—x2+4x+2=—(x—2)2+6,因为x°€［0,3］，所以f'(xo)€［2,6］，又因为切线与直线x+my—10=0垂直，所以切线的斜率为m,所以m的取值范围是［2,6］.［答案］Ca为曲线在点P处的切线的(2018湖北武汉五月模拟)已知点P在曲线y=n*上,e十I倾斜角，则a的取值范围是()B.一4［解析］求导可得y'=T+k•/ex+e一x+2>2exxe一x+2=4•••y'€[—1,0)，即tana€[—1,0),v02,y'>0x=2时，函数取得极小值—e-2,a0>a>-e-2［答案］DI—Inx,0vxv1,2.(2016四川卷)设直线li,I2分别是函数f(x)=图象上点Pi,P2|lnx,x>1TOC\o"1-5"\h\z处的切线，li与l2垂直相交于点P,且li,I2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)［解析］设P1(X1,InX1),P2(x2,—lnX2)(不妨设X1>1,0vX2V1)，则由导数的几何意义11易得切线h,I2的斜率分别为—,k2=—1.由已知得k1k2=—1.X1X2•1…X1X2=1,…X2=.X111•••切线11的方程为y—InX1=—(x—X1),切线l2的方程为y+InX2=——(x—X2),y—Inx1=—x1分别令x=0得A(0,—1+InX1),B(0,1+InX1).又l1与l2的交点为2x11+x1‘Inx1+1—x21+x1.’c12x11+X1*小c’皿、川„•X1>1,ASPAB=1|yA—yB||XP|=帀v1+1=1,A0vSAPABv1,故选A.［答案］A(2018北京市朝阳区二模)设P为曲线C1上动点，Q为曲线C2上动点，则称|PQI的最小值为曲线C1,C2之间的距离，记作d(C1,C2).若C1：X+y2=2,C2:(x—3)2+(y—3)?=2,则d(G,C2)=；若C3:ex—2y=0,C4:Inx+In2=y,贝Ud(C3,C4)=.［解析］C1(0,0),r1=2,C2(3,3),「2=2,dG,C2)=3.2—'.2—2=.2;C3:ex—2y=0,C4：Inx+In2=y互为反函数，先求出曲线ex—2y=0上的点到直线y=x的最小距离.设与直线y=x平行且与曲线ex—2y=0相切的切点P(x°,y°).11y'=1ex,•?ex0=1,解得Xg=In2,•y=1.得到切点P(ln2,1),到直线y=x的距离d=1鳥2,丨PQ丨的最小值为2d=,2(1—In2),故答案为2,2(1—In2).［答案］.2;.2(1—In2)Inx,x>0—2x-1,x<0(2018湖南衡阳第三次联考)设函数f(x)=,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值为1［解析］当x>0时，f'(x)=1，贝yf'(1)=1所以曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切x线为y=x—1,区域D可作图如下则根据线性规划的目标点的选取z=x2+y2+2x+2y=(x+1)2+(y+1)2—2，将其转化为可行域D内取一点(x,y)与定点(一1,—1)之间距离的平方与2的差的最小值，有可行域可D内取一点知，定点(一1,—6(x,y)与定点(一1,—1)之间距离的平方与2的差的最小值4—2=—…6［答案］—5设函数f(x)=ax—b，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x—4y—12=0.x(1)求f(x)的解析式；⑵证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.［解］(1)方程7x—4y—12=0可化为y=3.1b当x=2时，y=-又f'(x)=a+子，于是b7a+4=4，解得严1，故f(x)=x—3b=3.x⑵设P(X0,y°)为曲线上任一点,由y'=1+马知曲线在点P(X0,y°)处的切线方程为x即y—X。-X=1+专(X—X。).令x=0,得y=—X6，从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,—X6.令y=x,得y=x=2xo，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2xo,2xo).16所以点P(xo,yo)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为S=£—-|2xo|2Xo=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=o,y=x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.［C尖子生专练］(2018河北唐山一中月考)已知函数f(x)=ax3+3x2—6ax—11,g(x)=3x2+6x+12和直线m：y=kx+9，且f'(—1)=o.(1)求a的值；⑵是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由.［解］(1)由已知得f'(x)=3ax2+6x—6a,f'(—1)=o,「・3a—6—6a=o,—a=—2.⑵存在.由已知得，直线m恒过定点(o,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线，则设切点为(xo,3xo+6xo+12).Tg'(xo)=6xo+6,•••切线方程为y—(3xo+6xo+12)=(6xo+6)(x—xo),将(o,9)代入切线方程，解得xo=±.当Xo=—1时，切线方程为y=9;当Xo=1时，切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=—2x3+3x2+12x—11,由f'(x)=o得—6/+6x+12=o,解得x=—1或x=2.在x=—1处，y=f(x)的切线方程为y=—18;在x=2处，y=f(x)的切线方程为y=9,•y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.由f'(x)=12得—6x2+6x+12=12,解得x=o或x=1.在x=o处，y=f(x)的切线方程为y=12x—11;在x=1处，y=f(x)的切线方程为y=12x—10;•••y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述，y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.