1.3函数的基本性质一．课标要求：1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义．2）结合具体函数了解奇偶性的含义3）能运用函数图象理解和研究函数的性质二．内容概述函数的单调性、奇偶性是函数的两个基本性质，也是本节的教学重点。它们是用来描述函数整体特征的。而图像是发现函数性质的直观载体，在观察函数图像时，首先注意到的是图像的上升或下降（单调性），是否具有某种对称性（奇偶性），然后是图像在某些特殊位置的状态（如最值，零点等）但是由图像直观获得的结论还需从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认。三．要点整理1.增函数与减函数2.函数的最大值与最小值3.奇函数与偶函数四．课堂
练习
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练习一：完成教材第32页练习第3、4、5题.36页练习第1题练习二：1.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数2.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.五．拓展提升训练1．教材第35页思考题；2.已知函数f(x)=x+,x>0，①证明当0
0的最小值.1、3、1、1函数的单调性一、【学习目标】1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义；2、掌握判断函数单调性的判断
方法
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：定义法和图象法；3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.二、【自学内容和要求及自学过程】1、观察教材第27页图1.3-2，阅读教材第27-28页“思考”上面的文字内容，回答问题（课程的引入）<1>你能描述右面三个函数的图像特征吗？你是如何理解“上升”、“下降”的含义的？<2>对于二次函数y=x2，列出x，y的对应值
表
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(1)，完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升；结论：<1>函数y=x的图象，从左向右看是的；函数y=x2的图象在是下降的，在y轴右侧是的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是的，在是下降的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐即函数的逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的而增大；“下降”亦然；<2>在区间(0，+∞)上，任取x1、x2，且x1规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.你能给出增函数定义吗？<4>增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”，这样行吗?增函数的定义中，“当x1增函数的几何意义是什么？结论：<3>一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个上的两个自变量的值x1、x2，当时，都有f(x1)增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：；增函数反映了函数值随着自变量的；从左向右看,图象是上升的；<5>增函数的几何意义是从左向右看,图象是的.思考：<1>类比增函数的定义，给出减函数的定义；<2>函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？结论：<1>一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个上的两个自变量的值x1、x2，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而；<2>函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.3、阅读教材第29页第一段，回答问题（知识点）<6>你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗？试述之.三、【练习与巩固】1、自学教材第29页例1，仿照例1完成练习一练习一：完成教材第32页练习第3题.2、自学教材第29页例2，仿照例2，完成练习二练习二：完成教材第32页练习第4题.注意：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1
材料
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，自学教材30页内容，回答问题（最高、低点，最值）材料：右图是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察下列三个图像你能说出它们有什么共同特征吗？<1>你是怎样理解函数的最高点的？用你自己的语言叙述一下；<2>在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如右图所示，设点C的坐标为(x0,y0)，你能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？<3>在数学中，函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.你能给出函数最大值的定义吗？<4>函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？结论：<1>图象最高点的是所有函数值中的最大值,即函数的最大值；<2>由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方（或和点C的y值相等），即对定义域内任意x，都有，即，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有成立；<3>一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有；（2）存在，使得f(x0)=M(定义域优先的原则).那么，称M是函数y=f(x)的最大值；<4>f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值（注意：不是“小于”）实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的坐标是M.思考：<1>函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？由这个问题你发现了什么值得注意的地方？<2>类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义；结论：<1>讨论函数的最大值，（要坚持定义域优先的原则）；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点；<2>函数最小值的定义是：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有；（2）存在，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最点的坐标；讨论函数的最小值，也要坚持优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，（最低点必须是函数图象上的点）.三、【练习与巩固】快速浏览教材第30页例3，认真自学教材第31页例4，完成练习练习一：请你合上课本，把例4自己演算一遍；练习二：教材第32页练习第5题.思考：已知函数f(x)=x+,x>0，①证明当00的最小值.结论：<1>略；<2>（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=（x1＋1/x1）-（x2+1/x2）=（x1－x2）+(x2-x1)/x1x2=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2），即当00，∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+1/x,x>0取最小值.又f(1)=2，则函数f(x)=x+1/x,x>0取最小值是2.解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+1/x,x>0的图象，如图所示，由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+1/x,x>0取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.四、【作业】1、必做题：教材第39页习题1.3B组第1题（20）；2、选做题：教材第39页A组第4、5题.函数最值习题课一、选择题1．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6 x∈[1，2],x＋7x∈[－1，1]))，则f(x)的最大值、最小值分别为( )A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对[答案] A[解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.2．函数y＝x|x|的图象大致是( )[答案] A[解析] y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2 x≥0,－x2x<0))，故选A.3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元[答案] C[解析] 设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元．故选C.[点评] 列函数关系式时，不要出现y＝－x2＋21x＋2x的错误．4．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有( )A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)[答案] A[解析] ∵a＋b＞0∴a＞－b且b＞－a，又y＝f(x)是增函数∴f(a)＞f(－b)且f(b)＞f(－a)故选A.5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1][答案] D[解析] ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝eq\f(a,x＋1)在[1,2]上是减函数，∴a>0，∴0观察右图，找出两个函数共同特征.<2>你能利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你能发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？<3>根据上面讨论，请你给出偶函数的定义；结论：<1>这两个函数之间的图象都关于轴对称.(这样的函数称为偶函数)<2>这两个函数的解析式都满足：=f(3);=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=.<3>一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做.思考：偶函数的图象有什么特征？函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？结论：偶函数的图象关于y轴对称；函数f(x)=x2,x∈［-1,2］不是偶函数；偶函数的定义域关于原点对称.2、阅读34页内容，观察函数f(x)=x、f(x)=x-1图像，回答问题（奇函数）<4>类比偶函数的推导过程，请你给出给出奇函数的定义和性质结论：<4>一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于中心对称，其定义域关于对称.【教学效果】：由于偶函数讲的比较透彻，所以学生对奇函数的接受，还是比较理想的.三、【练习与巩固】1、自学教材第35页例5，然后完成下列练习练习一：<1>教材第36页练习第1题；<2>设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数2、根据今天所学内容，完成下列练习练习二：<1>教材第35页思考题；<2>已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.【教学效果】：通过练习二的第一个小题，要让同学们学会画奇函数、偶函数的图像和快速的判断函数的奇偶性.四、【作业】1、必做题：教材第36页练习第1题第<2>、<3>小题，第39页习题1.3A组第6题；2、选做题：教材第39页习题1.3B组第3题.函数奇偶性习题课一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y轴一定相交④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数A．①② B．③④C．①④D．②③[答案] D[解析] f(x)＝eq\f(1,x)为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1 x≥1,－x－1x≤－1))为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．2．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上( )A．减函数B．增函数C．既可能是减函数也可能是增函数D．不一定具有单调性[答案] B3．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )A．－15B．15C．10D．－10[答案] A[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，∴f(3)＝－15.解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.4．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)f(1)C．f(2)>f(3)D．f(－3)0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于( )A．－1B．1C.eq\f(11,4)D．－eq\f(11,4)[答案] A[解析] ∵x>0时，f(x)＝2x－3，∴f(2)＝22－3＝1，又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.6．设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A．为减函数，最大值为3B．为减函数，最小值为－3C．为增函数，最大值为－3D．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f(－1)＝3，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x3B．y＝－x2＋1C．y＝|x|＋1D．y＝2－|x|[答案] C[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)f(2)D．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴f(－1)f(2)．[点评] 也可以先求出f(x)在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，因此g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．12．偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x(x>0),x2＋x (x≤0)))；(2)f(x)＝eq\f(1,x2＋x).[解析] (1)f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x (x≥0),－x2－x(x<0)))，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(－x)＝eq\f(1,x2－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.15．函数f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，求函数f(x)的解析式．[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f(0)＝0，即b＝0.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，所以eq\f(\f(1,2)a,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(2,5)，所以a＝1，所以f(x)＝eq\f(x,1＋x2).16．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．[解析] 由f(1－a)＋f(1－a2)<0及f(x)为奇函数得，f(1－a)a2－1)) 解得00，f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2(x＋1)2－2，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2(x－1)2＋2 (x≥0),2(x＋1)2－2(x<0)))，其图象如图所示．函数性质习题课一、选择题1．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则( )A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)C．f(7)>f(9)D．f(7)>f(10)[答案] D[解析] ∵y＝f(x＋8)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(10)＝f(6)0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．2x－1B．－2x＋1C．2x＋1D．－2x－1[答案] D[解析] x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.4．偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系( )A．f(a－2)f(b＋1)D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定[答案] A[解析] 由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)0的解集为( )A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)[答案] C[解析] 如图，∵x<0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，∴f(x)>0时，－22.6．对于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－1)2 (x≥0),(x＋1)2(x<0)))，下列结论中正确的是( )A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数[答案] D[解析] 画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．7．(曲师大附中2009～2010高一上期末)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A．(－∞，3)∪(3，＋∞)B．(－∞，3)C．(3，＋∞)D．(－3,3)[答案] D[解析] ∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，故03时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x∈(－3,3)．[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．8．(09·浙江)若函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，则下列结论正确的是( )A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数[答案] C[解析] 显见当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C.[点评] 本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．对于选项D，由f(－x)＝－f(x)得x＝0，故不存在实数a，使f(x)为奇函数；对于选项B，令a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调增，故B错；对于选项A，若结论成立，则对∀x1，x2∈R，x1eq\f(a,x1x2)恒成立，这是不可能的．9．(2010·安徽理，6)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－eq\f(b,2a)<0，∴b<0，从而c>0与A图不符；B中－eq\f(b,2a)>0，∴b>0，∴c<0与B图也不符；若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，则当b>0时，有c>0与C、D不符．当b<0时，有c<0，此时－eq\f(b,2a)>0，且f(0)＝c<0，故选D.10．(2010·广东文，10)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算、⊗如下：那么d⊗(ac)＝( )A．aB．bC．cD．d[答案] A[解析] 要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，ac＝c，d⊗c＝a，故选A.二、填空题11．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，它的对称轴为直线x＝2，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y＝x2－4x－5[解析] 设解析式为y＝a(x－2)2＋k，把(0，－5)和(5,0)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5＝4a＋k,0＝9a＋k))，∴a＝1，k＝－9，∴y＝(x－2)2－9，即y＝x2－4x－5.12．函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案] eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[解析] 解法1：f(x)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)可视作反比例函数y＝eq\f(1－2a,x)经平移得到的．由条件知1－2a<0，∴a>eq\f(1,2).解法2：∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x10，x2＋2>0，若要f(x1)－f(x2)<0，则必须且只需2a－1>0，故a>eq\f(1,2).∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).三、解答题13．设函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴eq\f(ax2＋1,bx＋c)＋eq\f(ax2＋1,c－bx)＝0，∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，∵f(2)<3，∴eq\f(4a＋1,2b)<3，∴eq\f(4a＋1,a＋1)<3，解得：－12时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.∵f(x)的图象过点A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．*16.已知函数f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；(3)判断单调性；(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．[解析] (1)函数的定义域为R.(2)∵f(－x)＝eq\f(－2x,1＋x2)＝－f(x)∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x10，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．
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