2014届高考数学北师大版一轮复习讲义课件44复数的概念及其运算

考点 西游记考点整理二建建筑实务必背考点药理学考点整理部分幼儿综合素质考点归纳小学教育教学知识能力 串串讲1．复数的概念(1)虚数单位i的规定：2①i＝－1②i可以与实数进行四则运算．(2)形如a＋bi(a，b∈R)的数，叫复数，全体复数所组成的集合叫复数集，一般用字母C 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示．(3)复数a＋bi(a，b∈R)叫复数的代数形式，a与b分别叫复数的实部与虚部，复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R，以后说复数a＋bi时，都有a，b∈R)．(4)复数的分类?实数?b＝0???复数a＋bi??纯虚数?a＝0??虚数?b≠0????非纯虚数的虚数?a≠0??由复数的分类可得：实数集R是复数集C的真子集，即RC.2．两复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，特殊的有a，b∈R时，a＋bi＝0?a＝0，b＝0.注意①运用复数相等的定义解题时，必须分别清楚两个复数的实部与虚部，然后再运用实部与虚部分别对应相等解题．②两个复数相等的定义，是把复数问题实数化的重要手段之一，由一个复数相等的等式，可得到两个实数等式组成的方程组，从而可以用有关方程组的知识解决问题．3．复数的几何表示复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi，其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时要大写．关于复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应关系，应注意：①复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内纵坐标(或虚轴)上的单位长度是1，而不是i.由于i＝0＋1·i，所以用复平面内的点(0,1)表示i时，这点与原点的距离为1，等于纵轴(或虚轴)上的单位长度．②当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi是纯虚数，所以纵轴(或虚轴)上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．只有当a＝b＝0时，a＋bi是实数，即纵轴(或虚轴)上的点只有原点表示实数0.4．复数的模→向量OZ的模r叫作复数Z＝a＋bi(a，b∈R)的模(绝对值)，记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2.5．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)ia＋biac＋bdbc－adz1÷z2＝＝22＋22i(z2≠0)c＋dic＋dc＋d这些法则可以理解为关于i的二项式的四则运算，将－1代换2i后，再合并同类项；除法要先分母实数化再计算分子．(2)在进行复数运算时，熟记下列诸式的结果，有助于简化运算过程22①(a＋bi)(a－bi)＝a＋b；2②(1±i)＝±2i；1＋i1－i③＝i，＝－i；1－i1＋i2222④i的平方根是±(＋i)，－i的平方根是±(－＋i)，122221313的立方根是1，－±i；－1的立方根是－1，±i；2222⑤设ω为1的立方虚根，则有322ω＝1,1＋ω＋ω＝0，ω＝ω.4n4n＋14n＋24n＋3⑥i＝1，i＝i，i＝－1，i＝－i，(n∈N)．nn＋1n＋2n＋3⑦i＋i＋i＋i＝0，(n∈N)．6．复数加减法的几何意义①复数加法的几何意义→→→复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形对角线OZ所对应的复数．②复数减法的几何意义→→复数Z1－Z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量→Z2Z1所对应的复数．复数的加减法与向量的加减法相类似．③复平面内两点间的距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：d＝|z1－z2|.其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1和Z2之间的距离．7．复数的性质(1)复数的大小性质：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．如果两复数可以比较大小就隐藏着这两复数都是实数这一条件．(2)共轭运算的性质：z1z1①z1±z2＝z1±z2；②z1·z2＝z1·z2；③()＝(z2≠0)；④|z|z2z2＝|z|；⑤若z∈R?z＝－z；⑥若z≠0，则z为纯虚数?z＋－z＝0.(3)模运算的性质：|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1|z1|||＝(z2≠0)，z2|z2|22－－|z|＝|z|＝z·z，|z1＋z2|＋|z1－z2|＝2(|z1|＋|z2|)，||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.22228．复数集上的方程问题在复数集C中解方程，一般可以考虑以下几种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，从而转化为关于x，y的实数方程．(2)复数集上的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有以下两种情况．2①系数是实数，即a，b，c∈R.这时可以根据判别式Δ＝b－4ac判定根的实、虚性．此时，如果有一个根是实根，那么另一个根也是实根；如果有一个根是虚根，那么另一个根是与其共轭的虚根．②系数是虚数，这时不能利用判别式说明根的实、虚性，可以利用求根公式进行求根，也可以利用韦达定理体现根与系数的关系．(3)解实数方程的基本方法(如因式分解法、配方法、换元法)在解复数方程中仍可用．(4)对含参数的复数方程要会分析讨论．(5)含虚系数的一元二次方程，若有根，有时可先设出该根，再代入方程，利用复数相等求相关的系数或方程的根.典例对对碰题型一复数的概念m－m－6例1.当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i.m＋3(1)为实数；(2)为虚数；(3)是纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面的第二象限内．分析根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解．2解析(1)若z为实数，2?m?＋5m＋6＝0，则?得m＝－2.??m＋3≠0，2(2)若z为虚数，则m＋5m＋6≠0，得m≠－2，且m≠－3且m∈R.(3)若z为纯虚数，2m－m－6??＝0，则?m＋3得m＝3.2??m＋5m＋6≠0(4)若复数z对应点在第二象限，2m－m－6???＜0，?m＜－3，或－2＜m＜3，则?m＋3???m＜－3，或m＞－2.?2??m＋5m＋6＞0∴m＜－3，或－2＜m＜3.点评本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的代数形式，若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解.变式迁移1m?m＋2?2已知m∈R，复数z＝＋(m＋2m－1)i，当m为何值时：m－1(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数．解析(1)当m2＋2m－1＝0且m－1≠0，即m＝－1±2时，z为实数；(2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0.即m≠－1±2且m≠1时，z为虚数；m?m＋2?(3)当＝0且m2＋2m－1≠0，m－1即m＝0或－2时，z为纯虚数.题型二复数的代数运算例2.计算：?－1＋i??2＋i?(1)；3i2?1＋2i?＋3?1－i?(2)；2＋i1－i1＋i(3)2＋2；?1＋i??1－i?1－3i(4)2.?3＋i??－1＋i??2＋i?－3＋i解析(1)＝＝－1－3i.3i－i?1＋2i?2＋3?1－i?－3＋4i＋3－3i(2)＝2＋i2＋ii?2－i?12i＝＝＝＋i.5552＋i1－i1＋i1－i1＋i(3)＋2＋2＝2i－2i?1＋i??1－i?1＋i－1＋i＝＋＝－1.2－21－3i?3＋i??－i?－i(4)2＝2＝?3＋i??3＋i?3＋i?－i??3－i?13＝＝－－i.444点评复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆．另外，在复数运算中要注意分析表达式的结构特征，有效地进行简化运算，提高解题速度．例如本例中第(4)小题.变式迁移2计算：?2＋2i?3?4＋5i?(1)；?5－4i??1－i?3－i1＋3i8(2)(－).2222?1＋i??5－4i?·i解析(1)原式＝?5－4i??1－i?22·?1＋i?4i＝?1－i??1＋i?22·[?1＋i?2]2＝i22＝2(2i)i＝－42i.1＋3i3－i3(2)设ω＝－，则ω＝1，＝ωi.22888∴原式＝(ωi＋ω)＝ω(1＋i)6242＝ω·ω(2i)＝16ω13＝16(－＋i)22＝－8＋83i.3题型三两复数相等例3.已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.分析解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实．解析设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi代入原式，222得(2a)－3(a＋b)i＝4－6i，2??4a＝4，根据复数相等得?22??－3?a＋b?＝－6，??a＝1，解得???b＝1，??a＝1，或???b＝－1，??x＝1＋i，所求复数为???y＝1－i??x＝－1＋i，或???y＝－1－i，??a＝－1，或???b＝1，??x＝1－i，或???y＝1＋i，??x＝－1－i，或???y＝－1＋i.??a＝－1，或???b＝－1.点评利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.变式迁移3已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b－z＝(a＋2z)2.解析∵z＝1＋i，∴az＋2b－z＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)＝(a＋2)－4＋4(a＋2)i2＝(a＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2b－z＝(a＋2z)2，得2?a＋2b＝a＋4a，????a－2b＝4?a＋2?.两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0.解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.22题型四复数的性质2例4.已知x为实数，是否存在实数a使得复数z1＝3x＋(x－a22＋1)i和z2＝27＋(x＋a－ax－1)i满足关系z1＞z2？若存在，求出a的取值或取值范围；若不存在，请说明理由．分析当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小，从而问题化为判断两个复数何时同时为实数，然后再根据大小关系建立关于a的不等式来求取值或取值范围．解析依题意必有(x－a＋1)2＝0，2且x＋a－ax－1＝0，同时有3x2＞27成立，故(a－1)2＞9，解得a＜－2，或a＞4，故使z1＞z2的实数a存在，且a＜－2，或a＞4.变式迁移4给出下列命题：①若z2∈R，则z∈R；②若z1＞z2，则z1，z2∈R；③若z1－z22＞0，则z1＞z2；④若z＞1，则z2＞1；⑤若z2＋z12＝0，则z1＝z2＝0.其中正确命题的序号是________．答案②④2解析i＝－1∈R，但i?R，∴①错；z1＝1＋i，z2＝i，z1－z2＝1＞0，但z1，z2不能比较大小，∴③错；2i＋1＝0?⑤错．故正确命题是②，④.题型五复平面例5.当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面中的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．分析复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点．???a＞0，?a＜0，对于(1)应满足?对于(2)应满足????b＜0；?b＝0.解析2?m?－8m＋15＞0，(1)由已知?2??m＋3m－28＜0.??m＜3或m＞5，∴???－7＜m＜4.∴－7＜m＜3.2?m?－8m＋15＜0，①(2)由已知?2??m＋3m－28＝0.②由②得m＝－7不适合①，m＝4适合①，∴m＝4.点评复数z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b).变式迁移5i在复平面内，复数＋(1＋3i)2对应的点位于()1＋iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案Bi?1－i?1＋i解析原式＝＋(1－3＋23i)＝＋(－2＋23i)2?1＋i??1－i?31＋43＝－＋i.221＋433∵－＜0，＞0，22∴对应点在第二象限，故选B.题型六复数的模例6.若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求：(1)|z|的最大值和最小值；(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．分析明确满足条件|z＋3＋i|≤1的复数z的几何意义为：圆心为(－3，－1)，半径为1的圆内包括边界．|z|则表示圆面上一点→→到原点的距离．如图所示.OA对应的复数模为最大值.OB对应的复数模为最小值．→解析(1)如分析图，|OM|＝?3?2＋12＝2.∴|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.(2)|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2.∴|z－1|2＋|z＋1|2最大值为20，最小值为4.变式迁移6若复数|z－3i|＝5，求|z＋2|的最大值和最小值．解析如图，满足|z－3i|＝5的复数z所对应的点是以C(0,3)为圆心，5为半径的圆．|z＋2|表示复数z所对应的点Z和点A(－2,0)的距离，由题设z所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．22∴|AC|＝?－2－0?＋?0－3?＝13.∴|z＋2|max＝5＋13，|z＋2|min＝5－13.题型七数形结合思想在复数中的体现例7.虚数(x－2)＋yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1y时，的取值范围是()x3333A．[－，]B．[－，0)∪(0，]3333C．[－3，3]D．[－3，0)∪(0，3]解析22???x－2?＋y＝1，∵???y≠0，y22设k＝，则k为过圆(x－2)＋y＝1(y≠0)上的点及原点的直线x13斜率，如图所示，|k|≤＝，又∵y≠0，∴k≠0，故选B.33答案B点评解决与复数的基本概念和性质有关的题目时，要充分利用使它们成立的充要条件，同时注意复数和实数的区别与联系．数的概念扩充到复数后，实数集中的一些运算性质在复数集中不一定成立．解决复数问题的关键是利用复数的有关概念和复数相等的充要条件把复数问题实数化.变式迁移7已知复数z满足z＝y＋(x2＋y2－1)i(x，y∈R)且z≥0，则点(x，y)的轨迹为()A．圆B．半圆C．射线D．无法确定答案B22解析由z≥0，得z为实数，从而得y≥0且x＋y－1＝0，故选B.题型八复数的开方运算100例8.已知z＝8＋6i，求z－16z－.z分析如果由题设求8＋6i的平方根z，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么．23z4－16z2－100?z2－8?2－164解析原式＝＝zz200z200z?6i?2－164200＝＝－＝－＝－2，zz|z|zz∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，又由z2＝8＋6i＝[±(3＋i)]2，得z＝±(3＋i)，∴z＝3－i或z＝－3＋i.当z＝3－i时，200×?3－i?原式＝＝－60＋20i；10当－z＝－3＋i时，200×?－3＋i?原式＝－＝60－20i；10综上，原式＝－60＋20i或60－20i.点评(1)求一个数的平方根有两个基本方法：①设代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；②配方，如该例中的解法．(2)对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.变式迁移81已知z＝5－12i，求f(z)＝z－的值．z2解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝(x＋yi)＝x－y＋2xyi.由22题设得x－y＋2xyi＝5－12i，22?x－y＝5，?∴???2xy＝－12，??x＝3，解得???x＝－2.2222??x＝－3，或???y＝2.2∴z＝3－2i.或z＝－3＋2i.|z|＝13.1zf(z)＝z－＝z－2|z|z112＝z(1－2)＝z.13|z|12当z＝3－2i时，f(z)＝(3－2i)；1312当z＝－3＋2i时，f(z)＝－(3－2i).13题型九复数集上的方程问题例9.设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0；(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；π(2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．2解析(1)设实数根是α，则α－(tanθ＋i)α－(2＋i)＝0，2即α－αtanθ－2－(α＋1)i＝0.∵α、tanθ∈R，2?α?－αtanθ－2＝0，∴???α＋1＝0.∴α＝－1，且tanθ＝1.π又0＜θ＜，2π∴θ＝，α＝－1.4(2)证明：若有纯虚数根βi(β∈R，β≠0)，2则(βi)－(tanθ＋i)·(βi)－(2＋i)＝0，2∴－β＋β－2＝0.且－tanθ·β－1＝0这不可能．点评此类问题在虚实分明情况下，一般可用相等复数的概念求解.2变式迁移92关于x的方程x－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)有实根，则m的取值范围是()11A．m≥－B．m＝－4411C．m≥D．m＝1212答案D解析设x0为方程的实根，2则x0－(2i－1)x0＋3m－i＝0.即(x20＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，由此得2??x0＋x0＋3m＝01??m＝，故选D.12??－2x0－1＝0方法路路通1．设z＝a＋bi(a，b∈R)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法．2．两共轭复数在复平面内的对应点关于实轴对称，因此，它们的和为实数，差为0或纯虚数，积为实数．3．实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数．4．熟练掌握并能灵活运用以下结论(1)复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)(2)复数是实数的充要条件①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝z；③z∈R?z2≥0.(3)复数是纯虚数的充要条件①z＝a＋bi是纯虚数?a＝0且b≠0(a，b∈R)②z是纯虚数?z＋z＝0(z≠0)③z是纯虚数?z2＜0.5．要记住一些常用的结果，如i，ω的有关性质，如(1±i)2＝±2i，3ω＝1等结果可简化运算步骤，提高运算速度．6．在施行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的：mnmn(1)(z)＝z(m、n为分数时不成立)；(2)zm＝zn?m＝n(z≠1时不成立)；2(3)z2＋zz2是虚数时不成立)；12＝0?z1＝z2＝0(z1·(4)|z|2＝z2(z为虚数时不成立)；(5)|z|＜a?－a＜z＜a.(z为虚数时不成立)．7．对于实系数方程ax2＋bx＋c＝0(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根．2(2)当Δ＝b－4ac＝0时，方程有两相等实根．2(3)当Δ＝b－4ac＜0时，方程有两共轭虚根．－b＋－Δi－b－－Δix1＝x2＝2a2a正误题题辨13100例.计算(－＋i).22100100131001333错解(－＋i)＝[(－＋i)]＝13＝1.2222点击误解过程好像很有“理”，我们看第一个等式的计算法mnm·n则是依据(z)＝z，这一法则z∈R时，m，n∈Q时成立，而z∈C特别是z?R后，运算律只有在指数m、n均为正整数时才成立．这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则．所以对于数学中的有关定理、定义、性质等，在应用时必须注意成立的条件，否则会产生错误．13100正解(－＋i)22139913＝(－＋i)·(－＋i)222213333131333＝[(－＋i)](－＋i)＝1·(－＋i)22222213＝－＋i.22THANKS