第九章第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第9讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn　　(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b,（2）D（aX＋b）＝a2D（X）))(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)4.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．[做一做]1．(2015·杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为eq\f(2,3)，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的数学期望E(ξ)的值为________．解析：由题意可知，ξ～B(2，eq\f(2,3))，所以E(ξ)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)2．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)1．辨明两个易误点(1)理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.3．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．[做一做]3．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________．解析：两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为eq\f(4,9)，A中仅有一封信的投法种数是Ceq\o\al(1,2)×2＝4，概率为eq\f(4,9)，A中有两封信的投法种数是1，概率为eq\f(1,9)，故A邮箱的信件数X的数学期望是eq\f(4,9)×0＋eq\f(4,9)×1＋eq\f(1,9)×2＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)＝________．解析：因为P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4，所以P(ξ＞2)＝eq\f(1,2)×(1－2×0.4)＝0.1.答案：0.1eq\a\vs4\al(考点一)__离散型随机变量的均值与方差(高频考点)___离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种 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，试作出判断．　(2014·高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．[解]　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E与F，E与eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))与F，eq\o(E,\s\up6(－))与eq\o(F,\s\up6(－))都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)，故所求的分布列为X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)数学期望为E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.[规律方法]　求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法：(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)；(5)由方差的定义求D(ξ)．　1.(1)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．①求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；②在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．(2)(2015·沈阳市教学质量监测)为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．①求这3人选择的项目所属类别互异的概率；②将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)①设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(6,7).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为eq\f(6,7).②随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,7).所以随机变量X的分布列是X1234Peq\f(1,35)eq\f(4,35)eq\f(2,7)eq\f(4,7)随机变量X的数学期望E(X)＝1×eq\f(1,35)＋2×eq\f(4,35)＋3×eq\f(2,7)＋4×eq\f(4,7)＝eq\f(17,5).(2)记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci，i＝1，2，3.由题意知A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3均相互独立．则P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)，i＝1，2，3，①3人选择的项目所属类别互异的概率：P1＝Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).②任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P2＝eq\f(30＋10,60)＝eq\f(2,3)，由X～B(3，eq\f(2,3))，得P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k(1－eq\f(2,3))3－k(k＝0，1，2，3)，∴X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)其数学期望为E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.eq\a\vs4\al(考点二)__均值与方差的实际应用________________　(2014·高考湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多40＜X＜8080≤X≤120X＞120可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？[解]　(1)依题意，p1＝P(40＜X＜80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X＞120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(4)＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．[规律方法]　均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用eq\r(D（X）)来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．　2.(2015·山西省四校联考)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为eq\f(2,3)，且每题正确完成与否互不影响．(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？解：(1)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以，考生甲正确完成题目数的分布列为：ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，因为η～B(3，eq\f(2,3))，其分布列为：P(η＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k·(eq\f(1,3))3－k，k＝0，1，2，3，所以E(η)＝3×eq\f(2,3)＝2.又因为D(ξ)＝(1－2)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，D(η)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以D(ξ)＜D(η)．又因为P(ξ≥2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝0.8，P(η≥2)＝eq\f(12,27)＋eq\f(8,27)≈0.74，所以P(ξ≥2)＞P(η≥2)．①从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；②从至少完成2题的概率来看，甲获得通过的可能性较大，因此，可以判断甲的实验操作能力强．eq\a\vs4\al(考点三)__正态分布____________________________　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于(　　)A．0.6　　　　　　　　B．0.4C．0.3D．0.2(2)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．[解析]　(1)因为ξ～N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝1－P(ξ＜4)＝0.2，P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2.P(0＜ξ＜2)＝eq\f(1,2)P(0＜ξ＜4)＝eq\f(1,2)×[1－P(ξ≥4)－P(ξ≤0)]＝0.3.(2)由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.2.∴正态分布曲线的对称轴为ξ＝4.即P(ξ≤4)＝eq\f(1,2)，即每个摄像头在4年内都能正常工作的概率为eq\f(1,2).∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).[答案]　(1)C　(2)eq\f(1,4)[规律方法]　关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上的概率相同．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[提醒]　在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不一定是x＝0.　3.设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为(　　)A．4B．6C．8D．10解析：选A.由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4.交汇创新——随机变量的期望与函数的交汇　　　(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)．求T的数学期望．[解]　(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.[名师点评]　本题是概率、统计与函数的交汇创新题目，解答本题的思路是首先由题意写出分段函数，然后再利用概率与统计的知识解决所涉及的问题．　　　(2015·长春市第二次调研)据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5～106.5～8.5假设投资A项目的资金为x(x≥0)万元，投资B项目的资金为y(y≥0)万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E(ξ)，E(η)；(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z＝E(ξ)＋E(η)的最大值．解：(1)A项目投资利润ξ的分布列为ξ0.3x－0.2xP0.60.4E(ξ)＝0.18x－0.08x＝0.1x,B项目投资利润η的分布列为η0.35y－0.1y0P0.60.10.3E(η)＝0.21y－0.01y＝0.2y.(2)由题意可知x，y满足的约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤100,x≥y,x，y≥0))，由(1)可知，z＝E(ξ)＋E(η)＝0.1x＋0.2y，当x＝50，y＝50时，z取得最大值15.∴对A，B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，一人的上班途中有3个交通岗，则此人遇红灯的次数的期望为(　　)A．0.4　　　　　　　　B．1.2C．0.43D．0.6解析：选B.∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.2．(2015·潍坊质检)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，则P(1＜X＜3)＝(　　)A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：选C.由正态曲线的对称性可知，P(X＜3)＝P(X＞3)＝0.5，故P(X＞1)＝P(X＜5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X＞1)＝0.2，P(1＜X＜3)＝P(X＜3)－P(X≤1)＝0.5－0.2＝0.3.3．(2015·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析：选B.由题意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由数学期望的定义可求得E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.4．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)A．(0，eq\f(7,12))B．(eq\f(7,12)，1)C．(0，eq\f(1,2))D．(eq\f(1,2)，1)解析：选C.X的可能取值为1，2，3，∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，由E(X)＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，解得p＜eq\f(1,2)或p＞eq\f(5,2)(舍去)，∴0＜p＜eq\f(1,2).5．口袋中有n个白球，3个红球，依次从口袋中任取1球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X，若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，则下列结论错误的是(　　)A．n＝7B．P(X＝3)＝eq\f(7,120)C．E(X)＝eq\f(11,8)D．D(X)＝eq\f(1,2)解析：选D.由P(X＝2)＝eq\f(7,30)，得eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(1,n＋3)Ceq\o\al(1,n＋2))＝eq\f(7,30)，即eq\f(3n,（n＋3）（n＋2）)＝eq\f(7,30)，整理得90n＝7(n＋2)(n＋3)，解得n＝7.X的所有可能取值为1，2，3，4，则P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(1,10))＝eq\f(7,10)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,8))＝eq\f(7,120)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,7))＝eq\f(1,120)，所以E(X)＝1×eq\f(7,10)＋2×eq\f(7,30)＋3×eq\f(7,120)＋4×eq\f(1,120)＝eq\f(11,8)，D(X)＝eq\f(7,10)×(eq\f(11,8)－1)2＋eq\f(7,30)×(eq\f(11,8)－2)2＋eq\f(7,120)×(eq\f(11,8)－3)2＋eq\f(1,120)×(eq\f(11,8)－4)2＝eq\f(77,192).6．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝________．解析：S＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，ξ的分布列为ξ014916Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,7)＋1×eq\f(2,7)＋4×eq\f(2,7)＋9×eq\f(1,7)＋16×eq\f(1,7)＝5.答案：57．随机变量X的分布列为X012Pabc若E(X)＝1，则当a2＋b2＋c2取最小值时，方差D(X)＝________．解析：由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1,b＋2c＝1))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1－2c,a＝c))，∴a2＋b2＋c2＝c2＋(1－2c)2＋c2＝6c2－4c＋1，若a2＋b2＋c2取最小值，则c＝eq\f(1,3)，∴D(X)＝eq\f(1,3)×1＋eq\f(1,3)×0＋eq\f(1,3)×1＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．(2015·上海浦东质检)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．解析：随机变量ξ只能取0，1，2三个数，因为P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，所以E(ξ)＝1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(1,21)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)9．(2015·广东广州三校联考)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是eq\f(2,3).(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，eq\f(2,3))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,6)·(eq\f(2,3))k·(eq\f(1,3))6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．所以X的分布列为X0123456Peq\f(1,729)eq\f(4,243)eq\f(20,243)eq\f(160,729)eq\f(80,243)eq\f(64,243)eq\f(64,729)故E(X)＝eq\f(1,729)(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝eq\f(2916,729)＝4.(或因为X～B(6，eq\f(2,3))，所以E(X)＝6×eq\f(2,3)＝4.)(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)＝Ceq\o\al(2,4)·(eq\f(1,3))2·(eq\f(2,3))4＋Ceq\o\al(1,4)·eq\f(1,3)·(eq\f(2,3))5＋(eq\f(2,3))6＝eq\f(32,81)，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为eq\f(32,81).1．(2015·石家庄市第一次模拟)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为eq\f(1,2)，乙、丙应聘成功的概率均为eq\f(t,2)(0＜t＜2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的．(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；(2)记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求E(ξ)的取值范围．解：(1)由题意得2×eq\f(t,2)×(1－eq\f(t,2))＝eq\f(1,2)，解得t＝1.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝(1－eq\f(1,2))(1－eq\f(t,2))(1－eq\f(t,2))＝eq\f(（2－t）2,8)；P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(t,2))×(1－eq\f(t,2))＋2×(1－eq\f(1,2))×eq\f(t,2)×(1－eq\f(t,2))＝eq\f(4－t2,8)；P(ξ＝2)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(t,2)×(1－eq\f(t,2))＋(1－eq\f(1,2))×eq\f(t,2)×eq\f(t,2)＝eq\f(4t－t2,8)；P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(t,2)×eq\f(t,2)＝eq\f(t2,8).故ξ的分布列为：ξ0123Peq\f(（2－t）2,8)eq\f(4－t2,8)eq\f(4t－t2,8)eq\f(t2,8)所以E(ξ)＝t＋eq\f(1,2).由题意得：P(ξ＝2)－P(ξ＝1)＝eq\f(t－1,2)＞0，P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝eq\f(－t2＋4t－2,4)＞0，P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝eq\f(2t－t2,4)＞0，又因为0＜t＜2，所以t的取值范围是1＜t＜2.所以eq\f(3,2)＜E(ξ)＜eq\f(5,2).2．(2013·高考湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ