裂项相消与放缩法解数列专题

PAGE\*MERGEFORMAT17数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：，是的等差数列。常用裂项形式有：；；；；特别地：二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①（为常数）；②；③；④（为常数）.放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：；（2）将分子或分母放大（或缩小）①；（程度大）②（程度小）③或④⑤平方型：；⑥立方型：⑦指数型：；⑧；⑨利用基本不等式，，如：（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：.（2）求证：.（3）求证：. 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项放缩后再求和.问题是将通项放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an＋12－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.（2）先放缩再求和例如：求证：.例如：函数，求证：.例2.设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．总结：一般地，形如或（这里）的数列，在证明（为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.练习：1.设数列满足，，，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求证：当时，；（3）试探究：当时，是否有？说明理由.（3）形如例如：设，求证：.根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放缩成，则得，就放过“度”了。总结：形如的数列不等式证明：设和分别为数列和的前项和，若，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有.要证明不等式，如果记看作是数列的前项和，则，，那么只要证其通项满足即可.（二）放缩目标模型—可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是（分式型），累乘后约简为.姐妹不等式：和记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看，若小，则不等号是小于号，反之）。例如：求证：.例如：求证：。总结：形如的数列不等式证明：设和分别为数列和的前项积，若，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有.要证明不等式，如果记看作是数列的前项积，则，，那么只要证其通项满足即可.例3.已知数列满足，.（1）求证：是等差数列，并求出的通项；（2）证明：对于，.（二）添加或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。例如：已知，求证：.例4.已知数列的各项为正数，其前n项和.（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证例5.已知数列：满足：，，记.(I)求证：数列是等比数列；(II)若对任意恒成立，求t的取值范围；(III)证明:.（三）固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，，n∈N*.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有.练习：2.设，则的整数部分是（）A.17B.18C.19D.203.已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，.（I）求数列的通项；（II）求证：.数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：，是的等差数列。常用裂项形式有：；；；；特别地：二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①（为常数）；②；③；④（为常数）.放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：；（2）将分子或分母放大（或缩小）①；（程度大）②（程度小）③或④⑤平方型：；⑥立方型：⑦指数型：；⑧；⑨利用基本不等式，，如：（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：.分析：不等式左边可用等比数列前项和公式求和。解析：左边= 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面是证数列不等式，实质是数列求和。（2）求证：.分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列。解析：∵，∴左边（3）求证：.分析：注意到，将通项放缩为错位相减模型。解析：∵，∴左边总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项放缩后再求和.问题是将通项放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an＋12－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解析：(1)当n＝1时，4a1＝a22－5，∴a22＝4a1＋5.∵an＞0，∴.(2)当n≥2时，4Sn－1＝an2－4(n－1)－1，①；4Sn＝an＋12－4n－1，②由②－①，得4an＝4Sn－4Sn－1＝an＋12－an2－4，∴an＋12＝an2＋4an＋4＝(an＋2)2.∵an＞0，∴an＋1＝an＋2，∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a52＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)可知，4a1＝a22－5＝4，∴a1＝1.∵a2－a1＝3－1＝2，∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(3)＝＝＝.总结：（3）问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质是数列求和。（2）先放缩再求和例如：求证：.分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保留第一项，从第二项开始放缩。解析：∵∴左边当时，不等式显然也成立.例如：函数，求证：.分析：此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。例2.设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．解：（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，令n=1得：2S1=a2﹣22+1，令n=2得：2S2=a3﹣23+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=1（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n对n∈N*成立，∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，∴an+2n=3n，∴an=3n﹣2n；（3）分析：（3）左边不能直接求和，考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等比模型。（法二）∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1，∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；（法三）∵an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an，∴＜•，，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．总结：一般地，形如或（这里）的数列，在证明（为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.练习：1.设数列满足，，，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求证：当时，；（3）试探究：当时，是否有？说明理由.（3）形如例如：设，求证：.根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放缩成，则得，就放过“度”了。总结：形如的数列不等式证明：设和分别为数列和的前项和，若，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有.要证明不等式，如果记看作是数列的前项和，则，，那么只要证其通项满足即可.（二）放缩目标模型—可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是（分式型），累乘后约简为.姐妹不等式：和记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看，若小，则不等号是小于号，反之）。例如：求证：.例如：求证：。总结：形如的数列不等式证明：设和分别为数列和的前项积，若，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有.要证明不等式，如果记看作是数列的前项积，则，，那么只要证其通项满足即可.例3.已知数列满足，.（1）求证：是等差数列，并求出的通项；（2）证明：对于，.（二）添加或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。例如：已知，求证：.本题在放缩时舍去了，从而使和式得到了化简。例4.已知数列的各项为正数，其前n项和.（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证例5.已知数列：满足：，，记.(I)求证：数列是等比数列；(II)若对任意恒成立，求t的取值范围；(III)证明:.解：（Ⅰ）证明：由得①②∴即，且∴数列是首项为，公比为的等比数列．　　（Ⅱ）由(Ⅰ)可知∴由得，易得是关于的减函数∴，∴（Ⅲ）∴＝得证（三）固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，，n∈N*.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有.解：(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即.又，故数列是首项为，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n2.(3)当n＝1时，；当n＝2时，；当n≥3时，，此时＝＝.综上，对一切正整数n，有.此题采用了保留前2项，从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，需根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处。练习：2.设，则的整数部分是（）A.17B.18C.19D.20分析：不能直接求和式，须将通项放缩为裂项相消模型后求和.思路：为了确定的整数部分，必须将的值放缩在相邻的两个整数之间.3.已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，.（I）求数列的通项；（II）求证：.