2最大值最小值问题第1课时函数的最大值最小值的求法学案含答案

2.2最大值、最小值问题（第1课时）函数的最大值、最小值的求法学案（含答案）22最大值.最小值问题第1课时函数的最大值.最小值的求法学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最值点与最值如图为yfx，xa，b的图像思考1观察a，b上函数yfx的图像，试找出它的极大值.极小值答案极大值为fx1，fx3，极小值为fx2，fx4思考2结合图像判断，函数yfx在区间a，b上是否存在最大值，最小值若存在，分别为多少答案存在，fxminfa，fxmaxfx3梳理1最值点最大值点函数yfx在区间a，b上的最大值点x0指的是函数在这个区间上所有点的函数值都不超过fx0最小值点函数yfx在区间a，b上的最小值点x0指的是函数在这个区间上所有点的函数值都不小于fx02最值函数的最大值与最小值统称为最值3求函数yfx在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yfx在a，b内的极值；将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最大值不一定是函数的极大值2函数fx在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得3有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值类型一求函数的最值例1求函数fxln1xx2在区间第1页共7页0,2上的最大值与最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解fxxx1，令x0，解得x12舍去，x21.当0x1时，fx0，函数fx是增加的；当1x2时，fx0，函数fx是减少的所以f1ln2为函数fx的极大值又因为f00，f2ln31，所以f1f2f0，所以函数fx在0,2上的最小值为0，最大值为ln2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点1对函数进行准确求导，并检验fx0的根是否在给定区间内2研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值3比较极值与端点函数值的大小，确定最值跟踪训练1求下列函数的最值1fx；2fxxsinx，x0,2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解1函数fx的定义域为R.fx，当fx0时，x2，当fx0时，x2，当fx0时，x2.所以fx在，2上是增加的，在2，上是减少的，所以fx无最小值，fxmaxf2.2fxcosx，x0,2，令fx0，得x或x.因为f00，f2，f，f，所以当x0时，fx有最小值f00，当x2时，fx有最大值f2.例2已知函数fxexax2bx1，其中a，bR，e2.71828为自然对数的底数设gx是函数fx的导函数，求函数gx在区间0,1上的最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值解因为fxexax2bx1，所以gxfxex2axb，又gxex2a，因为x0,1，1，所以1若a，则2a1，gxex2a0，所以函数第2页共7页gx在区间0,1上是增加的，gxming01b.2若a，则12ae，于是当0xln2a时，gxex2a0，当ln2ax1时，gxex2a0，所以函数gx在区间0，ln2a上是减少的，在区间ln2a，1上是增加的，gxmingln2a2a2aln2ab.3若a，则2ae，gxex2a0，所以函数gx在区间0,1上是减少的，gxming1e2ab.综上所述，当a时，gx在区间0,1上的最小值为1b；当a时，gx在区间0,1上的最小值为2a2aln2ab；当a时，gx在区间0,1上的最小值为e2ab.引申探究1若a1，b2，求函数gx在区间0,1上的最小值解因为a1，b2，gxfxex2x2，又gxex2，令gx0，因为x0,1，解得xln2，所以当xln2时，函数取极小值，也是最小值，故gxmingln222ln2242ln2.2当b0时，若函数gx在区间0,1上的最小值为0，求a的值解当b0时，因为fxexax21，所以gxfxex2ax，又gxex2a，因为x0,1，1，所以1若a，则2a1，gxex2a0，所以函数gx在区间0,1上是增加的，gxming01，不符合题意2若a，则12ae，于是当0xln2a时，gxex2a0，当ln2ax1时，gxex2a0，所以函数gx在区间0，ln2a上是减少的，在区间ln2a，1上是增加的，gxmingln2a2a2aln2a0，解得a，不符合题意，舍去3若a，则2ae，gxex2a0，所以函数gx在区间0,1上是减少的，gxming1e2a0，解得a.反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟第3页共7页踪训练2已知函数fxx2alnxaR1若a2，求证fx在1，上是增加的；2求fx在1，上的最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值1证明fxx22lnx，当x1，时，fx0，所以fx在1，上是增加的2解fxx0当a0时，fx0恒成立，所以fx在1，上是增加的，最小值为f11.当a0时，fx在上是减少的；fx在上是增加的若1，即0a2，则fx在1，上是增加的，又f11，所以fx在1，上的最小值为1.若1，即a2，则fx在上是减少的，在上是增加的，又fln，所以fx在1，上的最小值为ln.综上，当a2时，fx在1，上的最小值为1；当a2时，fx在1，上的最小值为ln.类型二由函数的最值求参数例3已知函数fxax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解由题设知a0，否则fxb为常数函数，与题设矛盾求导得fx3ax212ax3axx4，令fx0，得x10，x24舍去当a0，且当x变化时，fx，fx的变化情况如下表x11,000,22fx0fx7abb16ab由表可知，当x0时，fx取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f0b3.又f17a3，f216a3f1，f216a329，解得a2.当a0时，同理可得，当x0时，fx取得极小值b，也就是函数在1,2上的最小值，f0b29.又f17a29，f216a29f1，f216a293，解得a第4页共7页2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值或范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程不等式解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3已知函数hxx33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解hxx33x29x1，hx3x26x9.令hx0，得x13，x21，当x变化时，hx，hx的变化情况如下表x，333,111，hx00hx284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h23h328，所以如果hx在区间k,2上的最大值为28，则k3.1如图所示，函数fx导函数的图像是一条直线，则A函数fx没有最大值也没有最小值B函数fx有最大值，没有最小值C函数fx没有最大值，有最小值D函数fx有最大值，也有最小值考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用答案C解析由导函数图像可知，函数fx只有一个极小值点1，即fx在x1处取得最小值，没有最大值2函数fxx33x1在闭区间3,0上的最大值和最小值分别是A1，1B1，17C3，17D9，19考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案C解析fx3x233x1x1，令fx0，得x第5页共7页1.又f3279117，f01，f11313,13,0所以fx在3,0上的最大值为3，最小值为17.3下列关于函数fx2xx2ex的判断正确的是fx0的解集是x|0x2；f是极小值，f是极大值；fx没有最小值，也没有最大值；fx有最大值，无最小值ABCD考点题点答案D解析由fx0，可得2xx2ex0，ex0，2xx20，0x2，故正确；fxex2x2，由fx0，得x，由fx0，得x或x，由fx0，得x，fx的单调减区间为，，，，单调增区间为，，fx的极大值为f，极小值为f，故正确；当x时，fx0恒成立，且当x时，fx，fx无最小值，但有最大值f，故不正确，正确4函数fx2x36x2mm是常数在区间2,2上有最大值3，则在区间2,2上的最小值为________考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案37解析fx6x212x6xx2，由题意知，在区间2,2上，x0是fx的最大值点，fxmaxf0m3.f21624337，f2162435，fxmin37.5已知函数fxax3bxc在点x2处取得极值c16.1求a，b的值；2若fx有极大值28，求fx在3,3上的最小值考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用解1因为fxax3bxc，故fx3ax2b.由于fx在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得a1，b12.2由1知fxx312xc，fx3x212.令fx0，得x12，x第6页共7页22.当x，2时，fx0，故fx在，2上为增函数；当x2,2时，fx0，故fx在2,2上为减函数；当x2，时，fx0，故fx在2，上为增函数由此可知fx在x12处取得极大值，f216c，fx在x22处取得极小值，f2c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f39c21，f39c3，f216c4.因此，fx在3,3上的最小值为f24.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.第7页共7页