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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题导数结合洛必达法则巧解高考压轴题0比.T-i00②洛必达法则可处理一，，o宀,1-,“,0,：：-：：型。0年和年高考中的全国新课标卷中的第题中的第色)步，由不等式恒成立来求参数的2010201121◎在着手求极限以前，首先要检查是否满足-,-,o•::,1,：：0,0°,：：_：：型定式，0取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法洛必达法则简介：则不适用，应从另外途径求极限。◎法则1若函数f(x)和g...

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题0比.T-i00②洛必达法则可处理一，，o宀,1-,“,0,：：-：：型。0年和年高考中的全国新课标卷中的第题中的第色)步，由不等式恒成立来求参数的2010201121◎在着手求极限以前，首先要检查是否满足-,-,o•::,1,：：0,0°,：：_：：型定式，0取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法洛必达法则简介：则不适用，应从另外途径求极限。◎法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴limfx=0及limgx=0；若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0;1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)=ex-1-x-ax2。f'(X)(3)liml,xagx(1)若a=0，求f(x)的单调区间；那么lim・L=|im=|。—g(x)—g'(x)(2)若当x_0时f(x)_0，求a的取值范围法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴limfx=0及limgx=0；原解：(1)a=0时，f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.x^C*‘(2)A>0,f(x)和g(x)在-:：，A与A,：：上可导，且g'(x)丰0;当(-：：,0)时，f'(x)：：：0；当x(0^：：)时，f'(x).0.故f(x)在(--■-,0)单调减少，在(0「：)单调增加(II)f'(x)=ex-1-2ax由(I)知ex一「x，当且仅当x=0时等号成立.故那么lim»=lim_^l。Fg(x)Fg^x)f'(x)_x_2ax=(1_2a)x,法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴limfx-：：及limgx二：：；1(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0;从而当1-2a一0,即a时，f'(x)_0(x一0)，而f(0)=0,2f'(X)于是当x^O时，f(x)K0.⑶liml,xagx1xx|limdlim・=l—g(x)Jg(x)由e1x(x=0)可得e-1-x(x=0).从而当a时，那么=。2利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:+—故当x(0,ln2a)时，f'(x)：：0，而f(0)=0，于是当x(0,ln2a)时，f(x)：：0.i,is换成8,a,①将上面公式中的XaXxT+XT-x—a,x—a洛必达法则也成立。综合得a的取值范围为精选资料，欢迎下载lnx1(n)由(i)知f(x)，所以X十1Xlnx1^^1))。xf(x)-(■(2lnxx-1仁X2xe当x0时，f(x)_0等价于aE2—x考虑函数h(x)=2lnx(一1)"2—1)(x0)，则h(x)=(J1"-1)2XXXxXXx-1x2x2xxe―eeeehxx-2x2x022令gx二(x>0),则g(x)，令二，23k(x1)-(x-1)xx由h'(x)二知，当x=1时，h'(x):：0,h(X)递减。而h(1)=0则hx二Xe「e1，hx二XgX0，X2原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：(II)当x=0时，f(x)=O,对任意实数a,均在f(x)_O；知hx在0,：；心[上为增函数，hxh0=0；知h(x)在(0,址)上为增函数，1故当x(0,1)时，h(x)0,可得h(x)0;当X(1,+：：)时，h(X)i；=0j12-xhx•h0；.gx0，g(x)在0,亠「上为增函数。<0,可得一h(X)>01-x2xxxe：1InxkInxk由洛必达法则知，lim_Jim加lim号冷，从而当x>0,且x=1时，f(x)-(+—)>0,即卩f(x)>+.xx—1Xx—1Xx「0x】02Xx】0221)设由于(k-1)X2•1)2(k-1)X2•2x•k-1的图像开口向下，且故a--(ii00,对称轴x=------->1当x^=(1,---------)时，(k-1)(x+1)+2x>0,故h(x)>0,21-k1-k2.(2011年全国新课标理)已知函数，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x，2y-3=0。11而h(1)=0,故当x(1,)时，h(x)>0,可得-h(x)<0,(i)求a、b的值;1-k1-x2•-lnXk(n)如果当x0，且x胡时，f(x)，求k的取值范围。与题设矛盾。x—1Xx122'(iii)设k—1.此时x1—2x,(k-1)(x1)2x0=h(x)>0,而h(1)=0,故当——-lnx)b原解：(i)f'(x)二——J(x1)2x21(1,+旳)时，h(x)>0,可得--------h(x)<0,与题设矛盾。21-xf(1)=1,1综合得，k的取值范围为)-：：,0]由于直线x，2y-3=0的斜率为(1,1)即■-，且过点，故f'(1)」1,原解在处理第)II)时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：22xlnx另解：(II)由题设可得，当x•0,x=1时，k<-1恒成立。b=1,21-x1—1解得a=1,b=1。精选资料，欢迎下载1精选资料，欢迎下载解：应用洛必达法则和导数22x21InX-X212xInxixsinx令g(x)=r1(x.0,^-1),则gx=2当xro^)时，原不等式等价于1-xlxnix、x—sinx3sinx—xcosx—2x再令hx=x21Inx-x21(x0,x=1)，则hx=2x记f(x)，则f'(x)二x3h“x=21nx•1-―，易知hx=21nx•1-丄在上为增函数，且故当xx记g(x)=3sinx-xcosx-2x，贝Ug'(x)=2cosxxsinx-2.x(0,1)时，hx：0，当hx0x(1,+：：)时，；因为g"(x)=xcosx-sinx=cosx(x—tanx),.hx在0,1上为减函数，在1,=上为增函数；故hx>h1=0g"'(x)--xsinx：：：0，所以g"(x)在(0,)上单调递减，且g"(x)：：.hx在0,•::上为增函数：0,所以g'(x)在(0,—)上单调递减，且g'(x)2：：：0.因此g(x)在(0-)上单调递减,Lh1=022且g(x)：：：0,故f'(x)二业因此f(x)=T在(0,-)上单调递减.当x(0,1)时，hx::0，当x(1，+：：)时，hx］、09：：：0，x由洛必达法则有当x(0,1)时，gx::0，当x(1，+：：)时，gx0x—sinx1-cosxsinxcosx=lim------=limgx在0,1上为减函数，在1,：；心］;上为增函数23x6xx>0x>0x>0xlnx1+lnxi1i即当x>0时，g(x^-，即有f(x)J.lim66由洛必达法则知limg(x)=2匚厂仁可回二2厂十仁2\二卜仁0,,13兀二k兰0，即k的取值范围为(-旳，0］故时，不等式Sinx.xrx对于x(応)恒成立.规律总结：通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分①可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。③岀现“-”型式子.03兀自编：若不等式sinxxax对于x(0,)2恒成立，求a的取值范围精选资料，欢迎下载Welcome!!!欢迎您的下载,资料仅供参考!精选资料，欢迎下载

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