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第一章 1.1 1.1.2 1.1.3

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第一章 1.1 1.1.2 1.1.3第PAGE页1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系目标定位 1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.自主预习(1)互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.(2)互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认,这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题...

第一章 1.1 1.1.2 1.1.3
第PAGE页1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系目标定位 1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.自主预习(1)互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.(2)互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认,这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认,这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.原命题为真,它的逆命题不一定为真;它的否命题也不一定为真.原命题为真,它的逆否命题一定为真.即时自测(1)如何写出一个命题的否命题?提示:把条件和结论都进行否认.(2)在四种命题中,真命题的个数可能为多少?提示:由于互为逆否关系的命题同真同假,真命题可能有0个,2个或4个.x>y,那么x2>y2的否命题是(  )x≤y,那么x2>y2x>y,那么x2 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案  C3.命题“两条对角线相等的四边形是矩形〞是命题“矩形是两条对角线相等的四边形〞的(  )解析 由四种命题的相互关系知应选A.答案 A4.“假设a+eq\r(5)是有理数,那么a是无理数〞的逆否命题为________,是________命题.(填“真〞或“假〞)解析 a+eq\r(5)是有理数,令a+eq\r(5)=b(b为有理数),那么a=b-eq\r(5)(b为有理数),∴a是无理数.∴原命题与逆否命题均为真命题.答案 假设a不是无理数,那么a+eq\r(5)不是有理数 真类型一 四种命题的概念【例1】分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:(1)实数的平方是非负数;(2)假设x、y都是奇数,那么x+y是偶数.解 (1)原命题是真命题.逆命题:假设一个数的平方是非负数,那么这个数是实数.真命题.否命题:假设一个数不是实数,那么它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:假设一个数的平方不是非负数,那么这个数不是实数.真命题.(2)原命题是真命题.逆命题:假设x+y是偶数,那么x、y都是奇数,是假命题.否命题:假设x、y不都是奇数,那么x+y不是偶数,是假命题.逆否命题:假设x+y不是偶数,那么x、y不都是奇数,是真命题.规律 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载  (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否认和结论的否认,再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当的添加一些词语,但不能改变条件和结论.【训练1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面;(2)如果x>10,那么x>0;(3)当x=2时,x2+x-6=0.解 (1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线.否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面.逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.(2)逆命题:如果x>0,那么x>10.否命题:如果x≤10,那么x≤0.逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.(3)逆命题:如果x2+x-6=0,那么x=2.否命题:如果x≠2,那么x2+x-6≠0.逆否命题:如果x2+x-6≠0,那么x≠2.类型二 四种命题的关系【例2】以下命题:①“假设xy=1,那么x、y互为倒数〞的逆命题;②“四边相等的四边形是正方形〞的否命题;③“梯形不是平行四边形〞的逆否命题;④“假设ac2>bc2,那么a>b〞的逆命题.其中是真命题的是________(填序号).解析 ①“假设xy=1,那么x,y互为倒数〞的逆命题是“假设x,y互为倒数,那么xy=1〞,是真命题;②“四边相等的四边形是正方形〞的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形〞,是真命题;③“梯形不是平行四边形〞本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题;④“假设ac2>bc2,那么a>b〞的逆命题是“假设a>b,那么ac2>bc2〞①②③.答案 ①②③规律方法 要判断四种命题的真假:首先,要熟练四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.【训练2】有以下四个命题:①“假设x+y=0,那么x,y互为相反数〞的否命题;②“假设a>b,那么a2>b2〞的逆否命题;③“假设x≤-3,那么x2-x-6>0〞的否命题;④“同位角相等〞的逆命题.其中真命题的个数是________.解析 ①“假设x+y≠0,那么x,y不是相反数〞,是真命题.②“假设a2≤b2,那么a≤b〞,取a=0,b=-1,a2≤b2,但a>b,故是假命题.③“假设x>-3,那么x2-x-6≤0〞,解不等式x2-x-6≤0可得-2≤x≤3,而x=4>-3不是不等式的解,故是假命题.④“相等的角是同位角〞是假命题.答案 1类型三 等价命题的应用(互动探究)【例3】判断命题“a,x为实数,假设关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,那么a≥1〞的逆否命题的真假.[思路探究]探究点一 原命题和其逆否命题的真假性有何关系?提示:原命题和其逆否命题同真同假.探究点二 关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,应该满足什么条件?解集是空集呢?提示:Δ≥0时,解集不是空集;Δ<0时,解集是空集.解 法一 原命题的逆否命题:a,x为实数,假设a<1,那么关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.真假判断如下:∵抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,假设a<1,那么4a-7<0.即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二 先判断原命题的真假.因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,所以a≥1.所以原命题成立.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.规律方法 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.【训练3】判断命题“假设m>0,那么方程x2+2x-3m=0有实数根〞的逆否命题的真假.解 ∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.∴原命题“假设m>0,那么方程x2+2x-3m=0有实数根〞为真.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“假设m>0,那么方程x2+2x-3m=0有实数根〞的逆否命题也为真.[课堂小结]1.写四种命题时,可以按以下步骤进行:(1)找出命题的条件p和结论q;(2)写出条件p的否认綈p和结论q的否认綈q;(3)按照四种命题的结构写出所有命题.2.每一个命题都有条件和结论组成,要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论根底.1.命题“假设a∉A,那么b∈B〞的否命题是(  )a∉A,那么b∉Ba∈A,那么b∉Bb∈B,那么a∉Ab∉B,那么a∉A解析 命题“假设p,那么q〞的否命题是“假设綈p,那么綈q〞,“∈〞与“∉〞互为否认形式.答案 B2.命题“假设A∩B=A,那么A∪B=B〞的逆否命题是(  )A∪B=B,那么A∩B=AA∩B≠A,那么A∪B≠BA∪B≠B,那么A∩B≠AA∪B≠B,那么A∩B=A解析 注意“A∩B=A〞的否认是“A∩B≠A〞.答案 C3.命题“假设平面向量a,b共线,那么a,b方向相同〞的逆否命题是______________________________,它是________命题(填“真〞或“假〞).答案 假设平面向量a,b的方向不相同,那么a,b不共线 假4.写出命题“当x=2时,x2-3x+2=0〞的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解 原命题:假设x=2,那么x2-3x+2=0,真命题.逆命题:假设x2-3x+2=0,那么x=2,假命题.否命题:假设x≠2,那么x2-3x+2≠0,假命题.逆否命题:假设x2-3x+2≠0,那么x≠2,真命题.基础过关1.命题“假设x2<1,那么-11或x<-1,那么x2x≥1或x≤-1,那么x2≥1解析 x2<1的否认是x2≥1,-1-3,那么a>-6〞以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为(  )解析 原命题显然为真命题,故其逆否命题为真命题,而其逆命题为“假设a>-6,那么a>-3〞,这是假命题,从而否命题也是假命题,因此只有两个真命题.答案 B4.“假设x,y全为零,那么xy=0〞的否命题为____________________________.解析 由于“全为零〞的否认为“不全为零〞,所以“假设x,y全为零,那么xy=0〞的否命题为“假设x,y不全为零,那么xy≠0〞.答案 假设x,y不全为零,那么xy≠05.以下命题中:①假设一个四边形的四条边不相等,那么它不是正方形;②正方形的四条边相等;③假设一个四边形的四条边相等,那么它是正方形.其中互为逆命题的有________;互为否命题的有________;互为逆否命题的有________(填序号).答案 ②和③ ①和③ ①和②p:“假设ac≥0,那么二次方程ax2+bx+c=0没有实根〞.(1)写出命题p的否命题;(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.解 (1)命题p的否命题为:“假设ac<0,那么二次方程ax2+bx+c=0有实根.〞(2)命题p的否命题是真命题.证明如下:∵ac<0,∴-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根.∴该命题是真命题.7.写出命题“a,b∈R,假设a2>b2,那么a>b〞的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解 逆命题:a,b∈R,假设a>b,那么a2>b2;否命题:a,b∈R,假设a2≤b2,那么a≤b;逆否命题:a,b∈R,假设a≤b,那么a2≤b2.∵原命题是假命题,∴逆否命题也是假命题.∵逆命题是假命题,∴否命题也是假命题.8.写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断真假.(1)等高的两个三角形是全等三角形;(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.解 (1)逆命题:假设两个三角形全等,那么这两个三角形等高,是真命题;否命题:假设两个三角形不等高,那么这两个三角形不全等,是真命题;逆否命题:假设两个三角形不全等,那么这两个三角形不等高,是假命题.(2)逆命题:假设一条直线平分弦所对的弧,那么这条直线是弦的垂直平分线,是假命题;否命题:假设一条直线不是弦的垂直平分线,那么这条直线不平分弦所对的弧,是假命题;逆否命题:假设一条直线不平分弦所对的弧,那么这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题.能力提升9.有以下四个命题,其中真命题有:①“假设x+y=0,那么x、y互为相反数〞的逆命题;②“全等三角形的面积相等〞的否命题;③“假设q≤1,那么x2+2x+q=0有实根〞的逆命题;④“不等边三角形的三个内角相等〞的逆否命题.其中真命题的序号为(  )A.①②B.②③C.①③D.③④解析 命题①:“假设x、y互为相反数,那么x+y=0〞是真命题;命题②:可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形〞是假命题,因此命题②是假命题;命题③:“假设x2+2x+q=0有实根,那么q≤1〞是真命题;命题④是假命题.答案 C10.以下四个命题:①“假设xy=0,那么x=0,且y=0〞的逆否命题;②“正方形是矩形〞的否命题;③“假设ac2>bc2,那么a>b〞的逆命题;④假设m>2,那么不等式x2-2x+m>0.其中真命题的个数为(  )解析 命题①的逆否命题是“假设x≠0,或y≠0,那么xy≠0〞,为假命题;命题②的否命题是“假设一个四边形不是正方形,那么它不是矩形〞,为假命题;命题③的逆命题是“假设a>b,那么ac2>bc2〞,为假命题;命题④为真命题,当m>2时,方程x2-2x+m=0的判别式Δ<0,对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点,所以函数值恒大于0.答案 B11.原命题“两个无理数的积仍是无理数〞,那么:①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数〞;②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数〞;③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数〞;其中所有正确 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达的序号是________.解析 “乘积不是无理数的两个数不都是无理数〞.答案 ①②12.:A表示点,a,b,c表示直线,α,β表示平面,给出以下命题:①a⊥α,b⊄α,假设b∥α,那么b⊥a;②a⊥α,假设a⊥β,那么α∥β;③a⊂α,b∩α=A,c为b在α上的射影,假设a⊥c,那么a⊥b;④a⊥α,假设b∥α,c∥a,那么a⊥b,c⊥b.其中逆命题为真的是________(填序号).解析 ④的逆命题:“a⊥α,假设a⊥b,c⊥b,那么b∥α,c∥a〞,而b,c可以在α内,故不正确.答案 ①②③13.判断命题:“假设b≤-1,那么关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根〞的逆否命题的真假.解 法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为b≤-1,所以Δ≥4>0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“假设关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,那么b>-1〞.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0,所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真.探究创新f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R,对命题“假设a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).〞(1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论;(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.解 (1)逆命题:假设f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),那么a+b≥0,为真命题.由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“假设a+b<0,那么f(a)+f(b)
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