实变函数期末考试卷A及参考答卷

考生信息栏院（系）班级姓名学号………………………………………………装……………………订……………………线……………………………………2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）试卷类别：闭卷考试用时：120分钟考试时间：2012年01月04日考试地点：文501、502题号分数一二三四五注意事项1、学生的院（系）别、专业、班级、姓名、学号必须填写在考生信息栏内指定的位置。2、学生在考试之前必须填写考试时间和地点。3、答题字迹要清楚，并保持卷面清洁。六七八总分评卷人复核人试卷共8页第1页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。考生签名：试卷共页第页试卷共页第页试卷共8页第2页实变函数期末考试卷(A)2009级本科1、2班用考试时间2012年01月04日一填空题（每小题3分，满分24分）1我们将定义在可测集上的所有可测函数所成的集合记为.任取，都可以确定两个非负可测函数：和分别称为的正部和负部。请你写出和之间的关系：，。2上题中有些元素被称为非负简单函数，指的是：是有限个互不相交的可测集的并集，在上（非负常数）（）.在上的积分定义为：，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说是可积的。3若是非负函数，则它的积分定义为：，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说是可积的。4中的一般元素称为是积分确定的，如果和，即和的值；但只有当时才能说是可积的，这时将它的积分定义为：。5从中取出一个非负函数列，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就得到列维定理的结论：。6设和都是中的可测函数，满足于或两个条件之一。试卷共8页第3页如果再添上下例两个条件之一：或，就可得到勒贝格控制收敛的结论：（1）；（2）。7富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集上的笛卡尔积上的可测函数的积分可化为累次积分的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了：（1）；（2）。两个累次积分都存在且相等是在上可积的条件，但不是条件。8斯蒂尔切斯积分的定义是：。二多项选择题下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分）[]1定义在上的实函数的正部和负部的取值情况有：（），与不同时取正值，但可能同时为零；（），与可能同时取正值，也可能同时为零；（）上任意两个非负实函数都构成上第三个实函数的正部与负部；（）上任意两个不同时取正值的非负函数都构成上第三个实函数的正部与负部。[]2设是中有限个互不相交的可测集的并集，函数在上的值恒等于常数（），则在上可积的充要条件有：（）；（）当时；（）均为测度有限集；（）每个均为有限数。[]3中的非负函数都是积分确定的，这是因为：试卷共8页第4页（）；（）和都是有限数；（）；（）[]4上的有界变差函数的任一个变差都不会超过全变差，而且当时有.由这两条结论可以推知：（）在上的振幅；（）有；（）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；（）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。[]5关于上的绝对连续函数及其导数，下列结论正确的有：（）用每个在上可积的函数都可构造一个绝对连续函数，满足于；（）每个绝对连续函数都在上几乎处处有可积的导函数，而且满足牛氏公式；（）每个在上几乎处处有导数的函数都是绝对连续函数，同时满足牛氏公式；（）在上几乎处处有导数的有界函数不一定连续，但本身一定可积。而它的导函数就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。三设满足：，闭集使.试证明是可测集。（8分）试卷共8页第5页四我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集上的实函数称为是可测的，如果它能表达成上一列简单函数的极限函数.现在请你用这个定义证明：上两个可测函数的乘积还是上可测函数。（7分）五设是上的可积函数列，并且正项级数收敛。试证明函数项级数几乎处处收敛，它的和函数在上可积，而且满足逐项积分公式：.（12分）试卷共8页第6页六设是上的可积函数，证明，存在上的连续函数使.（12分）七设是上非负可测函数列,,并且.若有某个在上上可积。试证明也在上可积，并且.（10分）试卷共8页第7页八设在上可积,,试证明：，存在的可测子集使（12分）试卷共8页第8页实变函数期末考试卷(A)参考答卷2009级本科1、2班用考试时间2012年01月04日一填空题（每小题3分，满分24分）1我们将定义在可测集上的所有可测函数所成的集合记为.任取，都可以确定两个非负可测函数：和分别称为的正部和负部。请你写出和之间的关系：，。2上题中有些元素被称为非负简单函数，指的是：是有限个互不相交的可测集的并集，在上（非负常数）（）.在上的积分定义为：，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说是可积的。3若是非负函数，则它的积分定义为：，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说是可积的。4中的一般元素称为是积分确定的，如果和，即和的值；但只有当时才能说是可积的，这时将它的积分定义为：.5从中取出一个非负函数列，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就得到列维定理的结论：.6设和都是中的可测函数，满足答卷共6页第1页于或两个条件之一。如果再添上下例两个条件之一：或，就可得到勒贝格控制收敛的结论：（1）；（2）.7富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集上的笛卡尔积上的可测函数的积分可化为累次积分的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了：（1）；（2）。两个累次积分都存在且相等是在上可积的条件，但不是条件。8斯蒂尔切斯积分的定义是：二多项选择题下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分）[AD]1定义在上的实函数的正部和负部的取值情况有：（），与不同时取正值，但可能同时为零；（），与可能同时取正值，也可能同时为零；（）上任意两个非负实函数都构成上第三个实函数的正部与负部；（）上任意两个不同时取正值的非负函数都构成上第三个实函数的正部与负部。答卷共6页第2页[BD]2设是中有限个互不相交的可测集的并集，函数在上的值恒等于常数（），则在上可积的充要条件有：（）；（）当时；（）均为测度有限集；（）每个均为有限数。[C]3中的非负函数都是积分确定的，这是因为：（）；（）和都是有限数；（）；（）[ABCD]4上的有界变差函数的任一个变差都不会超过全变差，而且当时有.由这两条结论可以推知：（）在上的振幅；（）有；（）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；（）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。[ABCD]5关于上的绝对连续函数及其导数，下列结论正确的有：（）用每个在上可积的函数都可构造一个绝对连续函数，满足于；（）每个绝对连续函数都在上几乎处处有可积的导函数，而且满足牛氏公式；（）每个在上几乎处处有导数的函数都是绝对连续函数，同时满足牛氏公式；（）在上几乎处处有导数的有界函数不一定连续，但本身一定可积。而它的导函数就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。三设满足：，闭集使.试证明是可测集。（8分）证明依题意，对每个自然数都有闭集使，取答卷共6页第3页，则是可测集，且，于是.令取极限得，所以是可测集，于是是可测集四我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集上的实函数称为是可测的，如果它能表达成上一列简单函数的极限函数.现在请你用这个定义证明：上两个可测函数的乘积还是上可测函数。（7分）证明因为均可测，所以存在上简单函数列使.于是有.因为也是简单函数列，所以仍是上的可测函数。五设是上的可积函数列，并且正项级数收敛。试证明函数项级数几乎处处收敛，它的和函数在上可积，而且满足逐项积分公式：.（12分）证明令，由逐项积分定理得，即非负函数在上可积，于是于，即几乎处处收敛，因此也几乎处处收敛。令，则是上的可测函数列，且于，于.由勒贝格控制收敛定理得.六设是上的可积函数，证明，存在上的连续函数使.（12分）证明因为在上可积，所以和都在上可积，于是存在简答卷共6页第4页单函数满足：，.令，则仍是上的简单函数，且.令，取，由鲁津定理，存在闭集以及，使得，当时，且在整个上，于是.故.七设是上非负可测函数列,,并且.若有某个在上上可积。试证明也在上可积，并且.（10分）证明令，则是单调递增的非负可测函数列，.因为当时有，即可积，所以由列维定理有：，即.答卷共6页第5页由此即得.八设在上可积,,试证明：，存在的可测子集使（12分）证明作上的实函数.则，由极限的保号性，存在使.下面证明在上连续：当时，的定义得，据此用积分的绝对连续性得，所以在上右连续。同理可证在上左连续。故在上连续。因为，所以由连续函数的介值定理，存使，取就有.答卷共6页第6页