固定收益证券计算题

计算题题型一：计算普通债券的久期和凸性N久期的观点公式：DtWtt1其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价钱的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转变成以年为单位的久期。久期的简化公式：1y(1y)T(cy)Dc[(1y)T1]yy其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期利润率，T表示距到期日的期数。1N凸性的计算公式：C(t2t)Wt(1y)2t1其中，y表示每期到期利润率；Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价钱的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，变换成以年为单位的凸性。例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期利润率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。每期现金流：C1008%4实际折现率：10%5%22息票债券久期、凸性的计算时间（期现金流现金流的现值权重时间×权重(t2+t)×Wt数）（元）（元）（Wt）（t×Wt）14（3.8095）94.9243243444546104总计1即，D=2=15%(15%)6(4%5%)5.4349（半年）利用简化公式：D4%[(15%)61]5%5%即，（年）（）2=；以年为单位的凸性：C=（2）2=利用凸性和久期的观点，计算当利润率改动1个基点（%）时，该债券价钱的波动利用修正久期的意义：P/PD*yD*2.71752.5881（年）15%当利润率上涨一个基点，从10%提高到%时，P/P2.58810.01%0.0259%；当利润率下降一个基点，从10%下降到%时，P/P2.5881(0.01%)0.0259%。凸性与价钱波动的关系：P/PD*?y1?C?y22当利润率上涨一个基点，从10%提高到%时，P/P2.58810.01%18.3377(0.01%)20.0259%；2当利润率下降一个基点，从10%下降到%时，又因为，债券价钱对于利润率的降低比对利润率的上涨更为敏感，所以凸性的估计结果与真切价钱波动更为靠近。题型二：计算提早卖出的债券的总利润率首先，利息+利息的利息=C(1r1)n1；r1为每期再投资利率；r1然后，有债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价钱；其中，NCFC1(1r2)NF投资期末的债券价钱：P；(1r2)Nr2(1r2)Nt1(1r2)tN为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期利润率。例二：投资者用元购置一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。如果债券拥有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期利润率为10%，求该债券的总利润率。解：6年内的利息+6年内利息的利息(14%)121901.55元=604%第6年终的债券价钱=601(15%)4(110001035.46元5%5%)4所以，6年后的期末价值=+=元总利润=元半年期总利润率=121937.0116.54%905.53总利润率=（1+%）2-1=%题型三：或有免疫策略（求安全边际）例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购置一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期利润率为10%；求1年后的安全边际。解：银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=万元；如果当前利润率稳定在10%：触碰线：146.93100.36万元(110%)41年后债券的价值=100×8%+8108=万元；10%(110%)21安全边际：万元；A触碰线所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的万元本息和从头投资于期限为4年、到期利润率为10%的债券。债券年利润率=5104.53(110%)418.88%100题型四：求逆浮动利率债券的价钱例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适合利润率）为8%，求逆浮动利率债券的价钱。解：在确定逆浮动利率债券价钱时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券组成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购置了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价钱都等于其面值，所以逆浮动利率债券价钱易求。1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价钱P600106009643.347元8%)(18%)2(1P逆=2P-P浮=2×=元题型五：对于美国企业债券的各样计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM实为一种折现率）例五：现有一美国企业债券，息票利率为8%，30年到期，适合利润率为6%，求债券现在的价值？解：因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：604010001(13%)601000Pn60=40+60=元3%)(13%)3%(13%)n1(1例六：现有一美国企业债券，息票利率为8%，30年到期，假定现在的售价为美元，求债券到期利润率？解：因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：604010001(1YTM)601000676.77=40n1(1YTM)n(1YTM)60YTM(1YTM)60经过上式求出该债券的半年期到期利润率为6%，因此该债券的年到期利润率为6%×2=12%例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适合贴现率是8%，计算该债券的价值。解：因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4%n=20P=500020=元4%)(1例八：一种美国企业债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。如果投资者在2003年7月10日购置，该债券的适合贴现率是6%，则该债券的净价是多少？全价是多少？（采用360天计算）解：2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。那么n=81/180=。P5050......5010501189.79元3%)0.45(13%)1.453%)8.45(13%)9.45(1(1即该债券的净价为元又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以AI5099元27.5180即该债券的全价为+=元例九：在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，当前的市场价钱为元，计算该债券的年到期利润率。解：因为该债券为票面价钱为1000元，半年付息一次，所以：经过上式求出该债券的半年到期利润率为%，因此该债券的年到期利润率为%×2=%例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月1格为日分别付息一次，2005年3月1日到期，20031045元，求它的年到期利润率。（按一年360年9月12天计算）日的完整市场价解：2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。即n=169/180=又因为全价=净价+应付利息AI501801693.06元180所以，净价==元即，该债券的半年到期利润率为YTM=%年到期利润率为%×2=%题型六：交税方法例十一：一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、拥有到期。政府对其收税，税率为20%。现有两种交税方式：一年一付；到期时一同付；问选择哪一种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果）解：设在某年年初购置该基金；基金面值为100元；市场适合利润率为r；一年一付（年终付）：每年年终应交：1006%20%1.2元101.21.21(1r)10现值：PV1rn1(1r)n到期时一同付总利息为：10×=12元现值：PV212r)10(1若PV1PV2,则r1%所以：当市场适合利润率为1%时，两种交税方式都能够；当市场适合利润率大于1%时，选择到期一同付；当市场适合利润率小于1%时，选择一年一付。附：课上提过的重点题例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的有关资料如下：债券名称票面利率到期时间面值（元）市场价钱到期利润率（年）（元）（年率）A6%610007%B%52000020000%C%4100008%求该债券组合的到期利润率。（步骤：1、列表；2、列方程）解：若考试时试题未给出债券的市场价钱，必须计算出来。12A：951.68n110B：20000n1301000(13.5%)n(13.5%)1255020000（平价销售）(1n(1102.75%)2.75%)837510000C：9831.68(14%)8n1(14%)n该债券组合的总市场价值为：+20+9=30元列表：r为债券组合的到期利润率期数A的现金流B的现金流C的现金流债券组合的现总现金流的现值（元）（元）（元）金流（元）（元）130550375955955/(1+r)230550375955955/(1+r)2330550375955955/(1+r)3430550375955955/(1+r)4530550375955955/(1+r)5630550375955955/(1+r)6730550375955955/(1+r)7830550103751095510955/(1+r)8930550580580/(1+r)91030205502058020580/(1+r)1011303030/(1+r)1112103010301030/(1+r)12总市场价值30④列方程：所以该债券的半年期到期利润率为%；其年到期利润率（内部回报率）为%。例十三：APR与EAR的换算EAR(1APR)n1公式：n其中：EAR为实际年利率；APR为名义年利率；n为一年中的计息次数；A债券的年利率为12%，半年支付一次利息。B债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。C债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。求这三种债券的实际年利润率。212%A：EAR1112.36%2B：EAR112%4112.55%4C：EAR110%4110.38%4注：名义利率同样，付息次数越多，实际利润率越大；付息次数同样，名义利率越大，实际利润率越大。例十四：求债券总利润或总利润率（与题型二对照本题没有提早销售债券这一条件故较为简单）此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值总利润=债券实际总价值-购置债券时的价钱求总利润率：公式：每期利润率=（期末价值/期初价值）1/n-1实际年利润率=（1+每期利润率）m-1投资者用元购置一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假定债券被拥有至到期日，再投资利率等于到期利润率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总利润、总利润率。解：166010001108.38半年期的YTM=5%，即每期的再(1YTM)16n1(1YTM)n投资利率为5%(15%)1611419.45元利息+利息的利息=605%该债券的利息=60×16=960元利息的利息==元拥有到期时债券的总价值=+1000=元总利润=元每期利润率=162419.4515%1108.38总利润率=15%2110.25%例十五：（财产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券组成，求该债券组合的久期，并说明利率改动时价钱的变化。债券名称面值（元）票面利率到期时间（年）市场价钱（元）YTM（年）A10006%67%B20000%520000%C10000%48%解：1.若没给出市场价钱，先计算市场价钱；2.利用简化公式，求出各自的久期；3.得出修正久期，算出总D*；4.假定利率改动，计算现在的价钱。久期的简化公式：1y(1y)T(cy)Dy)Ty；yc[(11]分别计算出A、B、C的久期：13.5%(13.5%)12(3%3.5%)（半年）DA3.5%3%(13.5%)12110.20013.5%DA*10.20019.855213.5%（半年）=（年）12.75%(12.75%)DB2.75%2.75%(12.75%)1012.75%12.75%18.87771(12.75%)102.75%（半年）DB*8.87778.6401（半年）=（年）(12.75%)DC14%(14%)8(3.75%4%)4%3.75%14%817.0484（半年）4%DC*7.04846.7773（半年）=（年）14%该债券组合的市场总价值等于+20000+=元，债券A的权重为、债券B的权重为、债券C的权重为。因此，该债券组合的久期为：D*4.92760.03094.32010.64973.38870.31944.0414（年）这表示当组合中的三种债券的年利润率都改动1个百分点时，组合的市场价值将会改动%。例十六：怎样结构理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法：假定存在5种政府债券，期限分别从1年到20年。这些债券都是平价债券，即价钱与面值相等，等于100元。因为是平价债券，所以这些债券的到期利润率与票面利率正好相等。债券期限（年）YTM（票面利率）即期利率（Sn）远期利率（fn1,n）15%5%5%2%%%3%%%4%%%5%%%解：在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券组成的债券组合，债券的价钱等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用(1Sn)nfn1,nSn1)n11，计算远期利率。(11年期债券的到期利润率就是1年期的即期利率，即S15%；2年期债券的现金流模式如下：1005.1%100(15.1%)100S1)S2)2(1(1解得S25.1026%、f1,2(1S2)2(115.2052%；S1)3年期债券的现金流模式如下：5.25.2105.21002(1S3)3(1S1)(1S2)解得S35.207%(1S3)3115.207%315.4161%；、f2,3S22(15.1026%)21④4年期债券的现金流模式如下：5.355.355.35105.351002(1S3)3(1S4)4(1S1)(1S2)解得S45.368%(15.368%)415.8525%；、f3,43(15.207%)⑤5年期债券的现金流模式如下：解得S55.4763%(15.4763%)515.9106%、f4,55.368%)4(1根据以上计算，绘图：远期利即期利率