(完整版)高一函数大题训练及答案

高中函数大题专练１、已知关于x的不等式(kxk24)(x4)0，其中kR。⑴试求不等式的解集A；⑵对于不等式的解集A，若满足AIZB(其中Z为整数集)。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由。２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。①对任意的x[0,1]，总有f(x)0；②当x10,x20,x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立。已知函数g(x)x2与h(x)a2x1是定义在[0,1]上的函数。试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；若函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下，讨论方程g(2x1)h(x)m(mR)解的个数情况。13.已知函数f(x)2x1|x|.2|x|若f(x)2，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0对于t[2,3]恒成立，求实数m的取值范围4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x0时，f(x)11x0,x0.,x0;求f(x)在(请你作出函数1)2)3)4),0)上的解析式.f(x)的大致图像.当0ab时，若f(a)f(b)，求ab的取值范围.若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.5．已知函数f(x)ab(x0)。|x|若函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；当b2时，若不等式f(x)x在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；(3)对于函数g(x)若存在区间[m,n](mn)，使x[m,n]时，函数g(x)的值域也是[m,n]，则称g(x)是[m,n]上的闭函数。若函数f(x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。26、设f(x)ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同。7．对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。2(1)已知函数f(x)ax2bxb(a0)有不动点(1，1)和(-3，-3)求a与b的值；(2)若对于任意实数b，函数f(x)ax2bxb(a0)总有两个相异的不动点，求a的取值范围；若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。18．设函数f(x)x，(x0)的图象为C1、C1关于点A(2，1)的对称的图象为C2，xC2对应的函数为g(x).(1)求函数yg(x)的解析式；(2)若直线yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.9．设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件：①对于任意正实数a、b，都有f(ab)f(a)f(b)1；②f(2)0；③当x1时，总有f(x)1.1(1)求f(1)及f()的值；2(2)求证：f(x)在(0,)上是减函数.1310．已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x[2,0)时，f(x)tx1x3(t为2常数)。(1)求函数f(x)的解析式；(2)当t[2,6]时，求f(x)在2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在0,2上的单调递增区间(不必 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 )；当t9时，证明：函数yf(x)的图象上至少有一个点落在直线y14上。x711.记函数fx2的定义域为A，gxlg2xbax1b0,aR的定义域为B，(1)求A：(2)若AB，求a、b的取值范围12、设fxax1a0,a1。1ax(1)求fx的反函数f1x：(2)讨论f1x在1.上的单调性，并加以证明：(3)令gx1logax，当m,n1,mn时，f1x在m,n上的值域是gn,gm，求a的取值范围。13．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f(x)的定义域是[0,)；(2)函数f(x)的值域是[2,4)；函数f(x)在[0,)上是增函数．试分别探究下列两小题：(Ⅰ)判断函数f1(x)x2(x0)，及f2(x)46(1)x(x0)是否属于集合A？并简2要说明理由．f(x)(x0)f(x)(x0)(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)f(x2)2f(x1)，是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．14、设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),F(x)=若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。在(1)的条件下,当x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。(理)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。x15．函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。axb(1)求a、b的值；(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。11函数大题专练答案１、已知关于x的不等式(kxk24)(x4)0，其中kR。⑴试求不等式的解集A；⑵对于不等式的解集A，若满足AIZB(其中Z为整数集)。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由。解：(1)当k0时，A(,4)；当k0且k2时，A4(,4)U(k,)k当k2时，A(,4)U(4,)；(不单独分析k2时的情况不扣分)当k0时，A(k4,4)。k(2)由(1)知：当k0时，集合B中的元素的个数无限；当k0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。4因为k4，当且仅当k2时取等号，k所以当k2时，集合B的元素个数最少。此时A4,4，故集合B3,2,1,0,1,2,3。２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。①对任意的x[0,1]，总有f(x)0；②当x10,x20,x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立。已知函数g(x)x2与h(x)a2x1是定义在[0,1]上的函数。试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；若函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下，讨论方程g(2x1)h(x)m(mR)解的个数情况。解：(1)当x0,1时，总有g(x)x20，满足①，当x10,x20,x1x21时，g(x1x2)x12x222x1x2x12x22g(x1)g(x2)，满足②(2)若a1时，h(0)a10不满足①，所以不是G函数；若a1时，h(x)在x[0,1]上是增函数，则h(x)0，满足①由h(x1x2)h(x1)h(x2)，得a2x1x21a2x11a2x21，即a[1(2x11)(2x21)]1，因为x10,x20,x1x21所以02x11102x211x1与x2不同时等于10(2x11)(2x11)1当x11(2x11)(2x11)x20时，(1(2x11)(2x11))min综合上述：a{1}3)根据(２)知：a=1，方程为4x2xm，由0211得x[0,1]0x111令2xt[1,2]，则mt2t(t)224由图形可知：当m[0,2]时，有一解；当m(,0)(2,)时，方程无解。４.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x0时，f(x)11x0,x0.,x0;1)2)求f(x)在(请你作出函数,0)上的解析式.f(x)的大致图像.３.已知函数f(x)2x1.2|x|(1)若f(x)2，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t[2,3]恒成立，求实数m的取值范围[解](1)当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x1x.2x1由条件可知2x1x2，即2x22x22x10，解得2x12.2x0，xlog212.(2)当t[1,2]时，2t22t122tm2t21t0，即m22t124t1.22t10，m22t1.2tQt[2,3],122t[65,17]，故m的取值范围是[17,).3)当0ab时，若f(a)f(b)，求ab的取值范围.2f(x)f(x)111x4)若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.[解](1)当x(,0)时，(2)f(x)的大致图像如下：解得ab的取值范围是(1,).(4)由(2)，对于方程f(x)a，当a有4个根，当a1时，方程有2个根；当a2所以，要使关于x的方程f(x)bf(x)0时，方程有3个根；当0a1时，方程0时，方程无解.⋯15分c0有7个不同实数解，关于f(x)的方程2f(x)bf(x)c0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。所以c0,f(x)b(0,1)，即1b0,c0５．已知函数f(x)ab(x0)。|x|1)若函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；2)当b2时，若不等式f(x)x在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；3)对于函数g(x)若存在区间[m,n](mn)，使x[m,n]时，函数g(x)的值域也是[m,n]，则称g(x)是[m,n]上的闭函数。若函数f(x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。解：(1)当x(0,)时，f(x)abx设x1,x2(0,)且x1x2，由f(x)是(0,)上的增函数，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)b(x1x2)0x1x2由x1x2，x1,x2(0,)知x1x20,x1x20，所以b0，即b(0,)222)当b2时，f(x)ax在x(1,)上恒成立，即ax|x|x22因为x22，当x即x2时取等号，xx22(1,)，所以x在x(1,)上的最小值为22。则a22xf(m)mf(n)n3)因为f(x)ab的定义域是(,0)U(0,)，设f(x)是区间[m,n]上的闭函|x|数，则mn0且b0(4)①若0mn当b0时，f(x)ab是(0,)上的增函数，则|x|b所以方程abx在(0,)上有两不等实根，x即x2axb0在(0,)上有两不等实根，所以a24b0x1x2a0，即a0,b0且a24b0x1x2b0bbf(m)n当b0时，f(x)aa在(0,)上递减，则，即|x|xf(n)mbambana0，所以a0,b0bmnf(m)n，即f(n)m②若mn0当b0时，f(x)abab是(,0)上的减函数，所以|x|xbanma0，所以a0,b0bmnbamn６、设f(x)ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同。解：(1)若a0，则对于每个正数b，f(x)bx的定义域和值域都是[0,)故a0满足条件2b(2)若a0，则对于正数b，f(x)ax2bx的定义域为D,0,a但f(x)的值域A0,，故DA，即a0不合条件；3)若a0，则对正数b，定义域D[0,b]ab(f(x))max，2af(x)的值域为[0,b]，2abba0a42aaa2a综上所述：a的值为0或4７．对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。(1)已知函数f(x)ax2bxb(a0)有不动点(1，1)和(-3，-3)求a与b的值；(2)若对于任意实数b，函数f(x)ax2bxb(a0)总有两个相异的不动点，求a的取值范围；若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。解：(1)由不动点的定义：f(x)x0，∴2ax2(b1)xb0代入x1知a1，又由x3及a1知b3。∴a1，b3。(2)对任意实数b，f(x)2axbxb(a0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b，方程f(x)x0总有两个相异的实数根。2∴ax(b1)xb0中(b1)24ab0，即b2(4a2)b10恒成立。故1(4a2)240，∴0a1。故当0a1时对任意的实数b，方程f(x)总有两个相异的不动点。⋯⋯..1(3)g(x)是R上的奇函数，则g(0)0，∴(0，0)是函数g(x)的不动点。若g(x)有异于(0，0)的不动点(x0,x0)，则g(x0)x0。又g(x0)g(x0)x0，∴(x0,x0)是函数g(x)的不动点。∴g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，所以有2k个(kN)，加上原点，共有n2k1个。即n必为奇数的对称的图象为C2，1８．设函数f(x)x，(x0)的图象为C1、C1关于点A(2，1)xC2对应的函数为g(x).1)求函数yg(x)的解析式；2)若直线yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标1解．(1)设p(u,v)是yx上任意一点，x设P关于A2，1)对称的点为Q(x,y),x4u4代入①得2g(x)x1x4x14(xx4,4)(4,2)联立21x4(b(b6)2(4b9)b24b1)当b0时得交点(3，0)；2)y2v21x4));6)x当b4b90,b0或b4,4时得交点(5，9．设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件：①对于任意正实数a、b，都有f(ab)f(a)f(b)1；②f(2)0；③当x1时，总有f(x)1.1(1)求f(1)及f()的值；2(2)求证：f(x)在(0,)上是减函数.解(1)取a=b=1，则f(1)2f(1)1.故f(1)1又f(1)f(21)f(2)f(1)1.且f(2)0.223得：f(12)f(1)f(2)11122)设0x1x2,则：f(x2)f(x1)x2f(2x1)f(x1)[f(x2)f(x1)1]f(x1)x1x1f(x2)1依0x1x2,可得x21x1x1再依据当x1时，总有f(x)1成立，可得f(x2)1x1即f(x2)f(x1)0成立，故f(x)在(0,)上是减函数。1310．已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x[2,0)时，f(x)tx1x3(t为2常数)。(1)求函数f(x)的解析式；(2)当t[2,6]时，求f(x)在2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在0,2上的单调递增区间(不必证明)；(3)当t9时，证明：函数yf(x)的图象上至少有一个点落在直线y14上。1313解：(1)x0,2时，x2,0，则f(x)t(x)(x)3txx3，∵函22数f(x)是定义在2,2上的奇函数，即fxfx，∴fxtx1x3，即21313f(x)txx3，又可知f00，∴函数f(x)的解析式为f(x)txx3，22x2,2；2,0，∴t1x20，22)fxxt1x2，∵t[2,6]，x2fx2x2212x2t1x28t，∴x2t1x2，272即x22t,x336t(6t32,0)时，fmin猜想f(x)在0,2上的单调递增区间为3)t9时，任取2x1x22，fx1x1x2t122x12x1x2x20，∴fx在2,2上单调递增，即fxf2,f2，即fx42t,2t4，t9，∴42t14,2t414，∴1442t,2t4，∴当t9时，函数yf（x）的图象上至少有一个点落在直线y14上。11.记函数fxx72的定义域为A，gxlg2xbax1b0,aR的定x2义域为B，（1）求A：（2）若AB，求a、b的取值范围解：（1）Ax2x7x3x2,23,2）2xbax0，B，得a0，则xborx21，即a2。b612、设fxax1a0,a1。1ax（1）求fx的反函数f1x：（2）讨论f1x在1.上的单调性，并加以证明：3）令gx1logax，当m,n1,1mn时，f1x在m,n上的值域是gn,gm，求a的取值范围。x1x2，∵x11x2111x1x21时，f1x1f1x2f1x2，∴f1x在1.a1时，∵f1x在1解：（1）f1xlogax1x1或x1x12）设10af1x13）当02x1x2x11x21f1x在1.上是增函数。上是减函数，0上是减函数：a1时，gmgn由logax1x1logax得xx1ax，即ax2a1x10，0可知方程的两个根均大于1，即f100a322，当a1时，f(x)(x0)f(x)(x0)1a12a1.上是增函数，∴ff1mgnm1amnan1a1ngmn1amnam1(舍去)。综1x在上，得0a322。13．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f(x)的定义域是[0,)；(2)函数f(x)的值域是[2,4)；函数f(x)在[0,)上是增函数．试分别探究下列两小题：(Ⅰ)判断函数f1(x)x2(x0)，及f2(x)46(1)x(x0)是否属于集合A？并简2要说明理由．(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)f(x2)2f(x1)，是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．解：(1)函数f1(x)x2不属于集合A.因为f1(x)的值域是[2,),所以函数f1(x)x2不属于集合A.(或Q当x490时,f1(49)54，不满足条件.)1xf2(x)46()x(x0)在集合A中,因为:①函数f2(x)的定义域是[0,)；②函2数f2(x)的值域是[2,4)；③函数f2(x)在[0,)上是增函数．1x1(2)f(x)f(x2)2f(x1)6()x()0，24不等式f(x)f(x2)2f(x1)对于任意的x0总成立14、设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),F(x)=1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。2)在(1)的条件下,当x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。(3)(理)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。解：(1)f(-1)=0∴ba1由f(x)0恒成立知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)202(x1)(x0)∴a=1从而f(x)=x2+2x+1∴F(x)=，(x1)2(x0)22(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1，由于g(x)在2,2上是2k2k单调函数,知-2或-2，得k-2或k6，22(3)f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f(x)在0,上为增函数对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，∴F(x)是奇函数且F(x)在0，上为增函数，m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)∴F(m)+F(n)>0。15．函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。axb求a、b的值；是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。解(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0定是方程=x的解，axb所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，axb矛盾，若有解为0，则1b=1，所以a=。22x(2)f(x)=2x，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，x2取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即2m=4，m=–4(必要性)，又m=–4时，m22x2(4x)f(x)+f(–4–x)==⋯⋯=4成立(充分性)，所以存在常数m=–4，使得对定x24x2义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，x2|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t≠0，则x2|AP|2=(t+1)2+(t4)2=t2+2t+2–8+162=(t2+126)+2(t–4)+2=(t–4)2+2(t–4)+10=(t–4+1)2+9ttt2t2tttt4117517所以当t–+1=0时即t=117，也就是x=517时，|AP|min=3。t2221mx16、已知函数f(x)log2是奇函数。x1x(1)求m的值；(2)请讨论它的单调性，并给予证明。解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)0；m1，其中m1(舍)；21mx21mx即(log2)(log2)0，解得：x1xx1xTOC\o"1-5"\h\z21x0,1)确是奇函数。HYPERLINK\l"bookmark244"\o"CurrentDocument"经验证当m1时，f(x)2log21x(x1,0x1x2)先研究f(x)在(0，1)内的单调性，任取x1、x2∈(0，1)，且设x10，即f(x)在(0，1)内单调递减；0)内单调递减。由于f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f(x)在(－1，