第四章数据包络分析(DEA)

第四章数据包络 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 *第一节：DEA背景介绍第二节：DEA基本模型CCR介绍第三节：DEA扩展模型介绍第四节：DEA软件介绍*第一节DEA背景介绍例1：总要素生产力(TotalFactorProductivity,TFP)TFP(i)=Yi/Xii=1,…nYi代表第i家厂商的产出Xi代表第i家厂商的投入单个投入单个产出*某行政单位有A,B,C等3个部门产出(Yi)为年度i部门的结案公文数投入(Xi)为年度i部门的员工数部门ABCY708090X102010第一节DEA背景介绍TFP(A)=70/10=7TFP(B)=80/20=4TFP(C)=90/10=9*第一节DEA背景介绍技术效率(TechnicalEfficiency,TE)TE(i)=TFP(i)/TFP*TFP*为所有厂商中最高的TFP本例中以部门C的TFP最高TE(A)=TFP(A)/TFP(C)=7/9TE(B)=TFP(B)/TFP(C)=4/9TE(C)=TFP(C)/TFP(C)=9/9=1*第一节DEA背景介绍例2：投入：人员(X1)；设备(X2)产出：公文(Y1)；专案计划 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf (Y2)一般的绩效评估方式：加权平均u1×Y1i+u2×Y2iTE(i)=--------------------v1×X1i+v2×X2iU1为Y1的权重，u2为Y2的权重v1为X1的权重，v2为X2的权重这种加权平均的问题在那里？？*第一节DEA背景介绍u1×Y1i+u2×Y2iMaxTE(i)=--------------------u,vv1×X1i+v2×X2iu1×Y1n+u2×Y2ns.t----------------≦1v1×X1n+v2×X2n(n=1,2,3)u≧0,v≧0一个自然的想法：*目的在于为第i个部门寻找可使其TE达到最大的u和v，所找出來的权重为对该部门最有利的。第一节DEA背景介绍这样做法的优点和缺点分别是什么？*例3：某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表：第一节DEA背景介绍企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268*我们限定所有的hj值不超过1,即这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk<1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。第一节DEA背景介绍*第一节DEA背景介绍因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：max如何求解？*解决办法：分式规划可化为线性规划第一节DEA背景介绍具体做法：设*第一节DEA背景介绍得到对应的线性规划P*第一节DEA背景介绍对应的对偶线性规划D*附录1：线性规划P与对应的对偶线性规划D第一节DEA背景介绍原问题P:对偶问题D:*第一节DEA背景介绍原问题P:对偶问题D:minW=3y1+9y2y1+y2≥2y1+4y2≥3y1+7y2≥3y1≥0,y2≥0*DEA方法简介数据包络分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出，该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU,DecisionMakingUnits）的输入或者输入不变，借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。第一节DEA背景介绍*第一节DEA背景介绍DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出 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，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。*DEA方法的特点：适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势。DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）。第一节DEA背景介绍*无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性。DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式。第一节DEA背景介绍*第二节DEA基本原理定义：123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmny11y12y13…y1j…y1n1u1y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…ysnsusn个决策单元（DMU）权系数权系数s种输出m种输入*xij--------第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0yrj--------第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0？？vi--------对第i种类型输入的一种度量，权系数ur--------对第r种类型输出的一种度量，权系数i----------1,2,…,mr----------1,2,…,sj----------1,2,…,n第二节DEA基本原理*第二节DEA基本原理每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：总可以适当的取权系数v和u，使得hj≤1,j=1,…，n*第二节DEA基本原理对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化权重时，hj0的最大值究竟是多少。*第二节DEA基本原理第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：*第二节DEA基本原理上述是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变化，令：（P）可变成如下的线性规划模型P：*利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决策单元而言的。对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析第二节DEA基本原理*第二节DEA基本原理规划P的对偶规划为规划D’：（D’）*进一步引入松弛变量s＋和剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可变成：（D）将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划.第二节DEA基本原理*定义1若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效.定义2若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ*＞0，并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效.第二节DEA基本原理*第二节DEA基本原理定理1线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*，则有hj0*＝θ*.定理2DMUj0为弱DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1；DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0.*第二节DEA基本原理CCR模型判定技术有效和规模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效；（2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出松弛变量大于0，则决策单元j0为弱DEA有效，决策元经济活动不同时为技术效率最佳和规模最佳；（3）θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是技术效率最佳，也不是规模最佳；*第二节DEA基本原理CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况：（1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则DMU为规模收益不变；（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增；（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减。第二节DEA基本原理*DEA有效性的经济含义考虑投入量为，产出量为的某种生产活动。目的是根据所观察到（xj,yj),j=1,2,…,n,去描述生产可能集，特别是根据这些观察数据去确定哪些生产活动是相对有效的。生产可能集定义为：T={(X,Y)|产出向量Y可以由投入向量X生产出来}因此，生产可能集可确定为：第二节DEA基本原理有效性定义：对任何一个决策单元，它达到100%的效率是指：①在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，除非同时降低其他种类的输出；②要达到现有的输出，任何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。一个决策单元达到了100%的效率，该决策单元就是有效的，也就是有效的决策单元。第二节DEA基本原理无效性定义：（1）对任意（X，Y）∈T，并且，均有（2）对任意（X，Y）∈T，并且，均有这就是说，以较多的输入或较少的输出进行生产总是可能的。第二节DEA基本原理*既是技术有效,也是规模有效以单输入单输出的情况 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 DEA有效性的经济含义。首先叙述生产函数的概念。生产函数Y=f(X）表示在生产处于最好的理想状态时，当投入量为X,所能获得的最大输出.因此,生产函数图象上的点(X表示输入,Y表示输出)所对应的决策单元,从生产函数的角度看,是处于“技术有效”的状态.一般来说生产函数的图象如下:ABC既不是技术有效,也不是规模有效技术有效,但不是规模有效第二节DEA基本原理现在来研究在模型C2R之下的DEA有效性的经济含义。检验决策单元j0的DEA有效性,即考虑线性规划问题:由于，即满足：第二节DEA基本原理可以看出线性规划是表示在生产可能集T内,当产出Y0保持不变的情况下,尽量将投入量X0按同一比例θ减少.如果投入量X0不能按同一比例θ减少,即线性规划的最优值θ=1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0既为技术有效,也为规模有效.反之,如果投入量X0能按同一比例θ减少,即线性规划最优值θ<1,在单输入与单输出情况下,决策单元j0不为技术有效,或不为规模有效.第二节DEA基本原理*例4:有3个决策单元的单输入数据和单输出数据.相应决策单元所对应的点以A,B,C表示,其中点A、C在生产曲线上,点B在生产曲线下方。由3个决策单元所确定的生产可能集T也在图中标出来。A(2,2)B(4,1)C(5,3.5)Y=Y(X)245213.5输入输出第二节DEA基本原理（1）对于决策点A,它是“技术有效”和“规模有效”,它所对应的C2R模型为：其最优解为:第二节DEA基本原理（2）对于决策点B，它不是“技术有效”，因为点B不在生产函数曲线上，也不是“规模有效”，这是因为它的投资规模太大；（3）对于决策点C，因为点C是在生产函数曲线上它是“技术有效”，但由于它的投资规模太大，所以不是“规模有效”。作业：分析上述结论？*第二节DEA基本原理例4：以1997年全部独立核算企业为对象，对安徽、江西、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定资产净值年平均余额(亿元)，流动资金年平均余额及从业人员(万人)，产出要素取总产值(亿元)和利税总额(亿元).*第二节DEA基本原理安徽江西湖南湖北固定资产932.66583.08936.841306.56流动资金980.45581.64849.311444.30从业人员401.8294.2443.20461.00利税总额179.2949.76144.20181.41总产值2196.09930.221659.042662.21全要素相对生产率(即DEA评价值)1.0000.71400.92851.000排序1321不是DEA有效时，如何调整？*第二节DEA基本原理1.建立评价湖南省的DEA模型如下：*第二节DEA基本原理求解结果为:调整方案为:输入调整前输入调整后输出调整前输出调整后936.84936.84*0.9285-119.71=750.15144.20144.20849.31849.31*0.9285=788.581659.041659.04+107.24=1766.28443.20443.2*0.9285-88.17=323.34第三节DEA扩展模型原理*一、具有非阿基米德无穷小的C2R模型在评价决策单元是否为DEA有效时,如果利用原线性规划（P）问题需要判断是否存在最优解，满足:利用对偶线性规划(D)需要判断它的所有最优解都满足:无论是对于线性规划还是对于对偶规划，这都是不容易做到的。因此Charnes和Cooper引入了非阿基米德无穷小的概念，利用线性规划方法求解。去判断决策单元的DEA有效性。*第三节DEA扩展模型原理令是非阿基米德无穷小量，带有非阿基米德无穷小的C2R模型：其中:*第三节DEA扩展模型原理对偶问题为：*第三节DEA扩展模型原理*第三节DEA扩展模型原理在CCR模型中，DMU的DEA有效性是同时针对技术有效性和规模有效性的。实际上，一个DMU位于有效生产前沿面上(即虽然是技术有效的)，但不一定是DEA(CCR)有效，原因在于DMU非规模有效。*第三节DEA扩展模型原理二、评价相对技术有效性C2GS2模型此模型单纯评价DMU间的相对技术有效性。*第三节DEA扩展模型原理C2GS2模型有效性解释*第三节DEA扩展模型原理*第三节DEA扩展模型原理DMU存在投入过多或者产出不足的调整方法令：第三节DEA扩展模型原理(△x0，△y0)分别称为输入剩余和输出亏空。显然，若原来(x0，y0)的非DEA有效，则通过对其投影，可以在不减少输出的前提下，使原来的输入有所减少，或者在不增加输入的前提下，使输出有所增加。第三节DEA扩展模型原理*例题:考虑具有一个输入和一个输出的问题,它们由下表给出:134231输入输出考察决策单元1,相应的线性规划模型为:其最优解为：知决策单元1为DEA有效(C2GS2)第三节DEA扩展模型原理1.对于决策单元2,为DEA有效(C2GS2),但却不是DEA(C2R)有效.2.知决策单元3不为DEA有效(C2GS2)作业：具体的计算过程第四节DEA软件介绍---DEAP2.1 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 1：建立文本文档建立一个文本文档并取名，例如[testdat]取名原则：只能取英文名，不能超八个字母部门ABCDEFGY11111111X12132445X24432211数据排列方式：先产出后投入，例如右中第一列为产出，第二、三列为投入。第四节DEA软件介绍---DEAP2.1第四节DEA软件介绍---DEAP2.1步骤2：建立命令文件回到「DEAP-xp1」的文件夹内，任意打开一个名为含ins的文件，如下所示：修改并保存（本例中testins.txt）第四节DEA软件介绍---DEAP2.1步骤三：执行命令键入执行文件名后Enter步骤四：寻找结果并分析第四节DEA软件介绍---DEAP2.1第四节DEA软件介绍---DEAP2.1EFFICIENCYSUMMARY:firmte10.75021.00030.66741.00050.75061.00071.000mean0.881技术效率值以firm1为例其技术效率值为0.75由于生产技术为投入导向表示该厂商的「投入」还有减少25%的空间注意：若为产出导向表示firm1的「产出」还有增产25%的空间