2X辅助角公式应用在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式:fXasinxbcosx^/a^__sinxgfacosxg,b4a__b2sinxy/an2其中cos.a,sinva^#b（几何意义：pa,b所在终边对应的中心角）va^当定义域为R时，fX7a^"b2ja^"b2.当定义域有限定时，要根据辅助角公式的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）的几何意义得到的估计范围，再根据X来作出判断，求出函数的最值或值域1.求函数fXsinx2cosx,x0,—2【解析】由辅助角公式可得:1.-^sinx752-^cosxJ5亦sinX（其中sin2壽,cossinO,cos为第一象限角，可令0,2，又22+0,0,—X2而sin1.石sincos2.求函数fX2sinX3cosX,X精选文库43PAGE\*MERGEFORMAT#【解析】解法一：辅助角公式：fxV13sinx—^cosx-皿sinx713虫其中sin为第四象限角.又sinsin2，可令x6，30,23函数ysinx,x2、2单调递增,2sin—3cos—16637323cos—3343代入直线方程的t132‘232'2精选文库PAGE\*MERGEFORMAT#3.函数y3cosx4sinx,x］的值域63［4朋,5］【解析】y4sinx3cosx5sin(x)，其中sin3,cos25且估算（6,7）而x[?,3],估算（X）（亍寻）所以,当x43^32—时,函数有最小值ymin3cos—4sin—666-时,函数有最大值ymax5,即函数值域y［呼,5］4.设X时，函数fXsinx2cosx取得最大值,则COS【解析】解法一：辅助角公式:由辅助角公式可得:sinx2cosx75sin其中2sin〒，cosJ5时,取得最大值.2ki，kZ，即2k,kcoscos—2sin解法二:导数法：fcos2sin0,sin2cos75，得cos解法三:解方程组：由条件可得fXmax，即sin.2sin2cos2cos®消去sin12coscos21，解得cos解法四:向量法：令arrr2,1,bcosx,sinx，贝Ufxagorrabcos当cos取得最大值时,x取得最大值，此时a与b同向共线,易得cos解法五:数形结合法令ucosx,vsinx侧xtv2u，如v2ut(t为纵截距)有交点,直线如右图h位置与圆相切时1右2vAcos,sin•此时li斜率为2,易得cos¥.5.设当x时，函数f(x)2sinxcosx取得最大值，则cos區【解析】5因f(x)2sinXcosx亦sin(x)，其中cos275.,sin5又当所以【解析】fxx时，函数tantan(—22sinx3cosx7T3sin(x)其中f(x)取得最大值•，所以2k)cotcossincos，即2.屁sin(kZ)，又当x时，函数f(x)取得最大值•，所以-2k，即一2k22(kZ)所以coscos(22k)=sin455■6.若x时，函数fx2sinx3cosx取得最大值，则tan7.已知方程2sinxcosxc在(0,)上有两个根和，则sin(44【解析】方法5:方程转化为J5(sinX2〒cos厂J5V5其中(cos£)，sin(xcsint汞依题意方程在(0,)上有两个根所以，故只能有2k2ksin()sin(sin2212sincos2—^—^454556方法二：用特殊值8.已知函数f(x)sin(x)2cos(x)(0)的图象关于直线对称，则sin2()4334A.-B.C.-D.5555A【解析】f(x)sin(x)2cos(x)75sin[(x)]，其中sin2后，cos1亦.又函数的图象关于直线x1对称，所以k-(kZ),即卩k-,22则sin2sin(2k2)sin(2)sin22sincos1X12走?5【点评】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可.9.若fX2015sinx2016cosx的一个对称中心为a,0，则a的值所在区间可以是A(0,7)B-(打C-（3，i）【解析】方法一：利用辅助角公式：由于fX2015sinx2016COSXfXJ20152(2016)2(sinx.J201522015(2016)22016cosx)V20152(2016)2J20152(2016)2sin(X)，其中tan2016翫且所以可得73tan20兰1估算2015又a,0sin(a0,得ak,(kZ),即ak,(kZ)X的一个对称中心，得720152（2016）2sin（xk3,(kZ)故当ka（打方法二:直接应用零点定义：由a,0是fX的一个对称中心，得faa2015sina2016cosa0,得tana第(価k—ak—,(kZ),故当k0时，a(：,§)
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