求动点的轨迹方程

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教课和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和要点内容（求轨迹方程和求曲线方程的差别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接见告轨迹的形状种类；而求曲线的方程时，题目中明确见告动点轨迹的形状种类）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x,y）满足的关系式。直接法1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；2）将几何等量关系转变成点的坐标满足的代数方程。例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和C：x2y21，动点M到圆C的切线长等与MQ，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设动点M(x,y)，直线MN切圆C于N。依题意：MQMN，即MQMN22而MN2MO2NO2,所以22MQMO1(x-2)2+y2=x2+y2-1化简得：x=54。动点M的轨迹是一条直线。定义法解析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：x2y28x0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r。若圆M与圆C相外切，则有∣MC∣=r＋4若圆M与圆C相内切，则有∣MC∣=r-4而∣MP∣=r,所以MC∣-∣MP∣=±4动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M的轨迹为双曲线。此中a=2,c=4。动点的轨迹方程为：x2y241123.相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这类方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C:(x1)2y24上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。解：设M(x,y),A(xA,yB),依题意有：x=42xA,y=32yA则：xA=2x-4,yA=2y-3,由于点A(xA,yB)在圆C:(x1)2y24上，所以(2x4)2(2y3)24点M的轨迹方程为：(x2)2(y23)21动点M的轨迹为以（2,32）为圆心，1为半径的圆。参数法例题：已知定点A（-3,0），M、N分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且ANMN,P在直线MN上，NP32MP。求动点P的轨迹C的方程。解：设N(0,t),P(x,y)直线AN的斜率kAM3t，由于ANMN，所以直线MN的斜率kMN3t直线MN的方程为y-t=3t2x,令y=0得x=t3,所2以点M(t3,0)NP(x,yt),t2MP(x3,y)由NP23MP,得x=23(x2t3),y-t=23y,则xt2y2t所以动点P的轨迹方程为：交轨法例题：如图，在矩形ABCD中，点，且都在座标轴上，设OP点的轨迹的方程。yDGCQMHoPFxAEBy24xAB8,BC4,E,F,G,H分别为四边的OF,CQCF(0)。求直线与的解：设M(x,y)，由已知得P(4,0),Q(4,22)，则直线的方程为yx2，直线的方程为yx2，22即y+2=x2y-2=-2x两式相乘，消去即得的轨迹的方程为x2y2．161(x0)4练习与答案设圆C与圆x2+（）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为AA．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆2.已知圆M1:(x4)2y225，圆M2:(x4)2y21，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。x2y24112(x>0)过点A(4，0)作圆O∶x2+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。(x-2)2+y2=4(0≤x<1)4.已知圆：+(y-4)=1,动点P是圆外C(x3)22一点，过P作圆C的切线，切点为M，且︱PM︱=︱PO︱（O为坐标原点）。求动点P的轨迹方程。提示：︱PO︱2=︱PM︱2=PC213x+4y-12=0已知圆C1:(x4)2y21，圆C2:x2(y2)21，动点到,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。A1,A2解：动点P到圆C1的最短距离为︱PC1︱-1,动点P到圆C2的最短距离为︱PC2︱-1,依题意有：︱PC1︱-1=︱PC2︱-1，即︱PC1︱=︱PC2︱所以动点P的轨迹为线段C1C2的中垂线。所以动点P的轨迹方程为：2x+y-5=026.已知双曲线x2y21的左、右极点分别为A1,A2,P（x1,y2），Q（x1,y2）是双曲线上不一样的两个动点。求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程。解：由为双曲线的左右极点知，A1(2,0),A2(2,0),y1(x2)，A2Q:yy1(x2)，两式相乘A1P:yx12x122y2y1(x22)，2x12由于点P(x1,y1)在双曲线上，所以x12y121，即2y121，故y2122)，2222(xx1AB的中点，试求线段程。且点所以x2y21，即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方22程为xy217.已知曲线C:yx2与直线l:xy20交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面地域（含界限）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，P与点A和点B均不重合．若点Q是线段PQ的中点M的轨迹方解：（1）联立yx2与yx2得xA1,xB2，则AB中点Q(15)，设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则2,21s5t2x1,t2y5，又点P在曲线C上，x2,y2，即s2222∴2y512化简可得y211，又点P是L上2(2x2)xx8的任一点，且不与点A和点B重合，则12x12，即1x5，∴中点M的轨迹方程为244yx2x11（1x5）.844已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x2y29上任意两个不一样的点，且满足ACBC0，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。解：uuuruuur连结CP，由ACBC0，知AC⊥BC∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1|AB|，由垂径定理2知|OP|2|AP|2|OA|2即|OP|2|CP|29设点P（x，y），有(x2y2)[(x1)2y2]9化简，获取x2xy24。y29.设椭圆x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于4A、B，O为坐标原点，点P满足OP1(OAOB)，2l绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。解：直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则直线l的方程为ykx1，记A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)(x2,y2)ykx1是方程组x2y21的解，其方程组4中消取y得(4k2)x22kx30∴x1x22k4k2y1y284k2∵OP1(OAOB)∴点P的坐标2为(x1x2,y1y2)22即：点P为(k2,42)，4k4k设点P为(x,y)，则P点的轨迹参数方程为xk2k（k为参数）4y4k24消去参数k得：4x2y2y0当斜率k不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点P的轨迹方程为4x2y2y0。10.设圆C与两圆(x5)2y24,(x5)2y24中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(5,0)、F2(5,0)，由题意得R|CF1|2|CF2|2或R|CF2|2|CF1|2，||CF1||CF2||425|F1F2|，可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为x2y21，则22ab2a4,a2,c5,b2c2a21,b1，所以轨迹L的方程为x2y21．4以下列图，已知P（4，0）是圆x2y236内的一点。A、B是圆上两动点，且满足APB900,求矩形APBQ的极点Q的轨迹方程.解：设R(x,y),依题意，有OR｜2+｜RA｜2=36,而｜RA｜=｜RP｜,所以OR｜2+｜RP｜2=36,即x2y2(x4)2y236化简得：(x2)2y214Q(X,Y),由于R(x,y)是QP的中点，所以有x=42X,y=Y2,故(4X2)2(Y)21422化简得：X2Y256在平面直角坐标系xOy中，直线l:x2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直均分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程。解：如图1，设MQ为线段OP的垂直均分线，交OP于点Q，QMPQAOP,MPl,且|MO||MP|.所以x2y2|x2|,即y24(x1)(x1).①另一种状况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直均分线，MPQMOQ.又QMPQAOP,MOQAOP.所以M为解析意点在x轴上，此时，记M的坐标为(x,0).M(x,0)中x的变化范围，设P(2,a)为l上任(aR).|MO||MP|（即|x|(x2)2a2）得，x11a21.4M(x,0)的轨迹方程为y0,x1②综合①和②得，点M轨迹E的方程为y24(x1),x1,0,x1.13.点M是椭圆x2y21上的动点。如图，点4的坐标为，是圆x2y21上的点，是点在x轴上的射影，点满足条件：，BA=0,求OQOMONQA线段的中点的轨迹方程；解：设M(xm,ym),B(xB,yB)Q(xQ,yQ).由于N(xN,0),uuuurOMuuurONuuurOQ，故xQ2xN,yQyM,xQ2yQ2(2xM)2yy4①uuuruuur由于QABA0,(1xQyQ)(1xNyn)(1xQ)(1xN)yQyN0,所以xQxNyQyNxNxQ1.②记P点的坐标为(xP,yP)，由于P是BQ的中点，所以2xPxQxP,2yPyQyP由由于xN2yN21，结合①，②得xP2yP21((xQxN)2(yQyN)2)1(xQ2xN2yQ2yn22(xQxNyQyN))441(52(xQxN1))3xP44故动点P的轨迹方程为（x-21)2y21。