§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切要点梳理1.cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ(Cα-β)cos(α+β)=(Cα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(Sα-β)sin(α+β)=(Sα+β)cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ基础知识自主学习前面4个
公式
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对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是(Tα+β需满足),(Tα-β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的.当tanα、tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用公式Tα±β,处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解.2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α=(α+β)-β,α=(α-β)+β，2α=（α+β）+（α-β），2α=（α+β）-（β-α）等等.3.二倍角公式sin2α=;cos2α===;tan2α=.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为：tanα±tanβ=,tanαtanβ=5.
函数
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f（α）=acosα+bsinα(a,b为常数)，可以化为f（α）=或f（α）=，其中φ可由a，b的值唯一确定.tan(α±β)(1tanαtanβ)=.基础自测1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为（）A.B.C.D.解析原式=cos43°cos(90°-13°)+sin43°cos(180°-13°)=cos43°sin13°-sin43°cos13°=sin(13°-43°)=-sin30°=B2.()解析由已知可得C3.（2009·陕西）若3sinα+cosα=0,则的值为（）A.B.C.D.-2解析3sinα+cosα=0,则AB题型一三角函数式的化简、求值题型分类深度剖析解（1）原式（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.（2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值.知能迁移1解题型二三角函数的给值求值解角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β)等；函数变换：弦切互化，化异名为同名.综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化.解析A知能迁移2已知()题型三三角函数的给值求角已知tan(α-β)=,tanβ=,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.解∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.（2）解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角.知能迁移3已知(1)求sinα的值；(2)求β的值.解题型四三角函数的综合应用（12分）已知α、β为锐角，向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c(1)若a·b=,a·c=,求角2β-α的值;(2)若a=b+c，求tanα的值.（1）由及a,b,c的坐标，可求出关于α、β的三角函数值，进而求出角.（2）由a=b+c可求出关于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解决问题.解（1）a·b=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ①②2分4分6分8分10分⑤（1）已知三角函数值求角，一定要注意角的范围.（2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，用方程的思想解决更简单、实用.12分知能迁移4（2009·广东）已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中(1)求sinθ和cosθ的值;解方法与技巧1.巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany=tan(x±y)·(1tanx·tany);倍角公式变形:降幂公式配方变形：思想方法感悟提高2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asinα+bcosα=(α+φ)(其中tanφ=)有:3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或2倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简化！5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0,π)范围内，sin(α+β)=所对应的角α+β不是唯一的.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.返回
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