§1归纳与类比----1.1归纳推理性格决定命运，气度决定格局，细节决定成败，态度决定一切，思路决定出路，高度决定深度.●学习目标1、通过实例了解归纳推理的概念．2、能利用归纳推理进行一些简单的推理．●学习重点难点重点：归纳推理的理解与应用．难点：归纳推理的应用．本节课的教学中，为了突出重点、突破难点，需要注意以下两点：(1)结构的开放性归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维．当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的．(2)过程的复杂性归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神．●教学流程情境引入⇒新知探究：归纳推理的定义、特点、作用⇒应用示例⇒抽象概括：归纳推理的一般步骤⇒课堂练习：通过练习，进行体验、感悟⇒课堂
小结
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：通过总结，升华对本节课所学知识的认识●导学流程一、了解感知【问题导思】 (1)同学甲发现锐角三角形，直角三角形都存在唯一内切圆，由此他推断所有的三角形都存在唯一内切圆．(2)同学乙观察到25＞52,26＞62,27＞72，由此他推断：n≥5时，2n＞n2.以上两位同学的推断方式有什么共同特点？【提示】 都是从特殊到一般，由部分到整体的推理．从学生熟悉的实例出发，引出归纳推理的概念；以问题的形式启发学生思考如何进行归纳推理，完成下列问题:1、歌德巴赫猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”是怎样得出的？歌德巴赫提出猜想的推理过程：通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表现成两个奇数之和（而且没有反例），于是猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”2、试通过归纳猜想得出凸多面体中，顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）满足的关系。3、阅读课本P53-55：请思考归纳推理的特征是什么？（1）、归纳推理的定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性,这样的推理方式称为归纳推理。（2）、归纳推理的一般步骤：①对有限的资料进行观察、
分析
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、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；即：实验、观察——概括、推广——猜测一般性结论（3）、特征：由部分到整体，由个别到一般。（4）、由归纳推理得到的结论，结论是否真实？（5）、归纳推理得到的结论未必真实，存在意义何在？（是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。）4、根据上面所学知识完成下列问题：二、深入学习结合了解感知中对归纳推理定义的理解，注意对归纳推理得出的结论正确性的判断，完成下列例题，活用所学。【典例】数与式中的归纳推理例1、观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为____________________．【解析】 本题考查数列中的不完全归纳法，由前四个等式得，第n行等式的左边为：以n为首项，公差为1的等差数列的前2n－1项的和，右边为(2n－1)2，则推算第5个等式为：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.变式训练：观察以下不等式1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……可以归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)
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：1．归纳推理的一般模式：S1具有性质P，S2具有性质P，…，Sn具有性质P，其中S1，S2，…，Sn是A类事物的部分对象，所以A类事物具有性质P.2．解决图形中的归纳推理问题，可以从以下两个方面入手：(1)从图形结构的变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，数值发生了怎样的变化．(2)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号之间的关系，归纳得出一般的结论．【典例】归纳推理在数列中的应用例3、 在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝eq\f(2an,2＋an)(n∈N*)，猜想这个数列的通项公式．【思路探究】 根据已知条件和递推关系，先求出数列的前n项，然后归纳总结其中的规律，写出其通项．【自主解答】 ∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)，∴a2＝eq\f(2a1,2＋a1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2a2,2＋a2)＝eq\f(2,4)，a4＝eq\f(2a3,2＋a3)＝eq\f(2,5)，…∴猜想：{an}的通项公式为an＝eq\f(2,n＋1).变式训练：已知在数列{an}中，a1＝2coseq\f(π,3)，an＋1＝eq\r(2＋an)(n∈N*)，猜想这个数列的通项公式．【解】 ∵a1＝2coseq\f(π,3)，an＋1＝eq\r(2＋an)，∴a2＝eq\r(2＋a1)＝eq\r(2＋2cos\f(π,3))＝eq\r(2＋22cos2\f(π,6)－1)＝eq\r(4cos2\f(π,6))＝2coseq\f(π,6).a3＝eq\r(2＋a2)＝eq\r(2＋2cos\f(π,6))＝eq\r(2＋2cos2\f(π,12)－1)＝eq\r(4cos2\f(π,12))＝2coseq\f(π,12).a4＝eq\r(2＋a3)＝eq\r(2＋2cos\f(π,12))＝eq\r(2＋2cos2\f(π,24)－1)＝eq\r(4cos2\f(π,24))＝2coseq\f(π,24).∴猜想：{an}的通项公式为a1＝2coseq\f(π,3×2n－1).规律方法：由数列的递推公式猜想通项公式时，先由已知的递推公式求出数列的前n项，再观察数列的项与项数的关系，归纳出通项公式．三、迁移运用归纳推理的应用有：数与式中的归纳推理、在几何中的应用、在数列中的应用，尤其在要掌握“递推型”的归纳推理问题的解法【典例4】 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图3－1－2：图3－1－2由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个图中的三角形数．【思路点拨】 从图形结构的变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，数值发生了怎样的变化，进而发现递推关系．【
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解答】 第1个图中的三角形数为1，第2个图中的三角形数为3，比第1个图中的三角形数大2，2分第3个图中的三角形数为6，比第2个图中的三角形数大3，4分第4个图中的三角形数为10，比第3个图中的三角形数大4，6分于是猜想：第n个图中的三角形数比第n－1个图中的三角形数大n.所以，第n个图中的三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).12分思维启迪：以图形变化为背景的归纳推理问题，其求解方法通常有两种：(1)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构再发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化；(2)从式子的特征入手，找出式子的相同或相似之处，比如本题，由项数与对应项的关系特点．项数1234对应项eq\f(1×2,2)eq\f(2×3,2)eq\f(3×4,2)eq\f(4×5,2)可归纳出，第n个图中的三角形数为eq\f(nn＋1,2).四：课堂小结：1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们把这种推理方式称为归纳推理．2．归纳是立足于观察、实际或经验的基础上，是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．3．根据归纳推理得出的结论不一定是正确的，要确定其正确性，还需进一步验证．五：当堂双基达标：1．设数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*，a1＝1，通过求a2，a3，猜想an的一个通项公式为( )A．2n－1 B．2n＋1C．2n－1D．2n＋1【解析】 ∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3＝22－1，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，猜想：an＝2n－1.【答案】 C2．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )A．76B．80C．86D．92【解析】 由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.【答案】 B3．(2013·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为________【解析】 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)4．试归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数．【解】 当n＝1时，子集个数为2＝21，当n＝2时，子集个数为4＝22，当n＝3时，子集个数为8＝23，由此猜想，集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为2n.5.观察以下等式：sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，sin215°＋sin215°＋sin2135°＝eq\f(3,2)，sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并给出证明．【解】 猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2).证明：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝(eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα)2＋sin2α＋(eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα)2＝eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(3,4)cos2α＋sin2α＋eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,2)sin2α＋eq\f(3,2)cos2α＝eq\f(3,2).六：滚动练习：一、选择题图3－1－31．如图3－1－3所示的三角形数阵是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数的构成规律，a所表示的数是( )A．2 B．4C．6D．8【解析】 a＝3＋3＝6.【答案】 C2．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项为( )A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2【解析】 由前n项可知，第k项中第一个数为ak－1，且共有k项，次数连续，故第k项和为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.【答案】 D3．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是( )A．10B．13C．14D．100【解析】 由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n，由eq\f(nn＋1,2)≤100，n∈N*，得n的最大值为14.【答案】 C4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )A．01B．43C．07D．49【解析】 72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16507,76＝117649，…由此看出末两位数字具有周期性，且周期为4，又2011＝4×502＋3，故72011的末两位数字应为43.【答案】 B5．观察(x2)′＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)【解析】 由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(－x)＝－g(x)，故选D.【答案】 D二、填空题6．观察下列等式，可以归纳出的结论是________．13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……图3－1－4【解析】 由1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，可归纳出13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)27．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝________.【解析】 5－2＝3＝1×3,11－5＝6＝2×3,20－11＝9＝3×3，x－20＝4×3,47－x＝5×3，∴x＝32.【答案】 328．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.【解析】 观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350；(1)取α＝eq\f(π,3)，则cosα＝eq\f(1,2)，cos10α＝－eq\f(1,2)，代入等式⑤，得－eq\f(1,2)＝m(eq\f(1,2))10－1280×(eq\f(1,2))8＋1120×(eq\f(1,2))6＋n×(eq\f(1,2))4＋p×(eq\f(1,2))2－1，即n＋4p＝－200，(2)联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50.∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.【答案】 962三、解答题9．猜想不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))>eq\r(n＋1)满足什么条件时成立？【解】 当n＝1时，左边＝1，右边＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，不等式不成立．当n＝2时，左边＝1＋eq\f(1,\r(2))＝eq\f(2＋\r(2),2)，右边＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)＝eq\f(\r(12),2).∵2＋eq\r(2)<eq\r(12)，∴左边<右边，不等式不成立．当n＝3时，左边＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＝eq\f(6＋3\r(2)＋2\r(3),6)，右边＝eq\r(3＋1)＝2，左边>eq\f(6＋3×1.4＋2×1.7,6)＝eq\f(6.8,3)>2＝右边．∴不等式成立．猜想：当n∈N＋且n≥3时不等式成立．10．观察下表，填表后再解答问题：(1)完成下列
表格
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：序号123…图形…◎的个数824…的个数14…(2)试求第几个图形中“◎”的个数和“”的个数相等？【解】 (1)16 9(2)设第n个图形中“◎”的个数和“”的个数相等．观察图形可知8n＝n2，解得n＝8或n＝0(舍去)．所以第8个图形中“◎”的个数和“”的个数相等．11．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，f1(x)＝f(x)，且当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))，试求f2(x)，f3(x)，并归纳出fn(x)(n∈N*)．【解】 f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(f1x,f1x＋2)＝eq\f(\f(x,x＋2),\f(x,x＋2)＋2)＝eq\f(x,x＋2x＋2)＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(f2x,f2x＋2)＝eq\f(\f(x,3x＋4),\f(x,3x＋4)＋2)＝eq\f(x,x＋23x＋4)＝eq\f(x,7x＋8)，猜想：fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n)(n∈N*)．12.观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4).分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并给出证明．【思路探究】 观察等式左边三角函数名称和角之间的关系，猜想一般规律．【自主解答】 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)＝sin2α＋(eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα)2＋sinα(eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).
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