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和角公式与倍角公式

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和角公式与倍角公式和角公式与倍角公式LT§4.5 和角公式与倍角公式1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (Cα-β)cos(α+β)=____________________________ (Cα+β)sin(α-β)=____________________________ (Sα-β)sin(α+β)=______________________________ (Sα+β)tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ) (Tα-β)tan(α+β)=eq\f(tanα+t...

和角公式与倍角公式
和角公式与倍角公式LT§4.5 和角公式与倍角公式1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (Cα-β)cos(α+β)=____________________________ (Cα+β)sin(α-β)=____________________________ (Sα-β)sin(α+β)=______________________________ (Sα+β)tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ) (Tα-β)tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ) (Tα+β)前面4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个公式成立的条件是α≠kπ+eq\f(π,2),β≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z,且α+β≠kπ+eq\f(π,2)(Tα+β需满足),α-β≠kπ+eq\f(π,2)(Tα-β需满足)k∈Z时成立,否则是不成立的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式Tα±β处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法来解.2.二倍角公式sin2α=__________________;cos2α=________________=__________=__________;tan2α=______________.3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为:tanα±tanβ=________________________,tanαtanβ=________________=C.eq\f(1,9)D.eq\f(7,9)5.若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)-α))=eq\f(1,3),则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)+2α))的值为(  )A.eq\f(1,3)B.-eq\f(1,3)C.eq\f(7,9)D.-eq\f(7,9)题型一 三角函数式的化简求值问题例1 (1)化简:eq\f((1+sinθ+cosθ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)-cos\f(θ,2))),\r(2+2cosθ))(0<θ<π);(2)求值:eq\f(1+cos20°,2sin20°)-sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan5°)-tan5°)).探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项,消去求值;③化分子、分母出现公约数进行约分求值.(1)化简:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))-tan\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+tanα·tan\f(α,2)));(2)求值:[2sin50°+sin10°(1+eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°).题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4),cos(α-β)=eq\f(12,13),sin(α+β)=-eq\f(3,5),求sin2α;(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=eq\f(1,2),tanβ=-eq\f(1,7),求2α-β的值.探究提高 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2))),选正弦较好.(2)解这类问题的一般步骤为:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出所求的角.(2011·广东)已知函数f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x-\f(π,6))),x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))的值;(2)设α,β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3α+\f(π,2)))=eq\f(10,13),f(3β+2π)=eq\f(6,5),求cos(α+β)的值.题型三 三角变换的简单应用例3 已知f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,tanx)))sin2x-2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4))).(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(π,2))),求f(x)的取值范围.探究提高 (1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为正切tanα,为第(1)问铺平道路.(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=eq\r(a2+b2)sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.(2010·天津)已知函数f(x)=2eq\r(3)sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,eq\f(π,2)]上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=eq\f(6,5),x0∈[eq\f(π,4),eq\f(π,2)],求cos2x0的值.6.构造辅助角逆用和角公式解题试题:(12分)已知函数f(x)=2cosx·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6)))-eq\r(3)sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当α∈[0,π]时,若f(α)=1,求α的值.审题视角 (1)在f(x)的表达式中,有平方、有乘积,而且还表现为有不同角,所以要考虑到化同角、降幂等转化方法.(2)当f(x)=asinx+bcosx的形式时,可考虑辅助角公式. 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答解 (1)因为f(x)=2cosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6)))-eq\r(3)sin2x+sinxcosx=eq\r(3)cos2x+sinxcosx-eq\r(3)sin2x+sinxcosx[2分]=eq\r(3)cos2x+sin2x=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))),所以最小正周期T=π.[6分](2)由f(α)=1,得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α+\f(π,3)))=1,又α∈[0,π],所以2α+eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(7π,3))),[8分]所以2α+eq\f(π,3)=eq\f(5π,6)或2α+eq\f(π,3)=eq\f(13π,6),故α=eq\f(π,4)或α=eq\f(11π,12).[12分]第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式.第二步:构造:f(x)=eq\r(a2+b2)(sinx·eq\f(a,\r(a2+b2))+cosx·eq\f(b,\r(a2+b2))).第三步:和角公式逆用f(x)=eq\r(a2+b2)sin(x+φ)(其中φ为辅助角).第四步:利用f(x)=eq\r(a2+b2)sin(x+φ)研究三角函数的性质.第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范.批阅笔记 (1)在本题的解法中,运用了二倍角的正、余弦公式,还引入了辅助角,技巧性较强.值得强调的是:辅助角公式asinα+bcosα=eq\r(a2+b2)sin(α+φ)(其中tanφ=eq\f(b,a)),或asinα+bcosα=eq\r(a2+b2)cos(α-φ)(其中tanφ=eq\f(a,b)),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注.(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误.在定义域大于周期的区间上求最值时,辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧1.巧用公式变形:和差角公式变形:tanx±tany=tan(x±y)·(1∓tanx·tany);倍角公式变形:降幂公式cos2α=eq\f(1+cos2α,2),sin2α=eq\f(1-cos2α,2);配方变形:1±sinα=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1+cosα=2cos2eq\f(α,2),1-cosα=2sin2eq\f(α,2).2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asinα+bcosα=eq\r(a2+b2)sin(α+φ)(其中tanφ=eq\f(b,a))有:eq\r(a2+b2)≥|y|.3.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化.5.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=eq\f(\r(2),2)所对应的角α+β不是唯一的.3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.§4.5 和角公式与倍角公式(时间:60分钟)A组 专项基础训练题组一、选择题1.已知sinα=eq\f(2,3),则cos(π-2α)等于(  )A.-eq\f(\r(5),3)B.-eq\f(1,9)C.eq\f(1,9)D.eq\f(\r(5),3)2.(2011·福建)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),且sin2α+cos2α=eq\f(1,4),则tanα的值等于(  )A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)3.(2011·浙江)若0<α<eq\f(π,2),-eq\f(π,2)<β<0,coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+α))=eq\f(1,3),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-\f(β,2)))=eq\f(\r(3),3),则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(β,2)))等于(  )A.eq\f(\r(3),3)B.-eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9)D.-eq\f(\r(6),9)二、填空题4.(2011·江苏)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))=2,则eq\f(tanx,tan2x)的值为________.5.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.6.sinα=eq\f(3,5),cosβ=eq\f(3,5),其中α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),则α+β=________.三、解答题7.已知A、B均为钝角且sinA=eq\f(\r(5),5),sinB=eq\f(\r(10),10),求A+B的值.8.已知函数f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))+2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4))),求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,12),\f(π,2)))上的最大值与最小值.B组 专项能力提升题组一、选择题1.已知锐角α满足cos2α=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-α)),则sin2α等于(  )A.eq\f(1,2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.-eq\f(\r(2),2)2.若将函数y=Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,6)))(A>0,ω>0)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位后得到的图象关于原点对称,则ω的值可能为(  )A.2B.3C.4D.53.在△ABC中,若tanA+tanB+eq\r(3)=eq\r(3)tanA·tanB,且sinAcosA=eq\f(\r(3),4),则△ABC(  )A.等腰三角形B.等腰或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形二、填空题4.化简:sin2x+2sinxcosx+3cos2x=___________________________________________.5.eq\f(\r(3)tan12°-3,4cos212°-2sin12°)=________.6.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-α))=eq\f(12,13),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),则eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+α)))=________.三、解答题7.已知cosα=eq\f(1,7),cos(α-β)=eq\f(13,14),且0<β<α<eq\f(π,2),(1)求tan2α的值;(2)求β.8.设函数f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=eq\f(1,3),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)))=-eq\f(1,4),且C为锐角,求sinA.答案要点梳理1.cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβsinαcosβ+cosαsinβ2.2sinαcosα cos2α-sin2α 2cos2α-11-2sin2α eq\f(2tanα,1-tan2α)3.tan(α±β)(1∓tanαtanβ) 1-eq\f(tanα+tanβ,tanα+β)eq\f(tanα-tanβ,tanα-β)-14.eq\r(a2+b2)sin(α+φ) eq\r(a2+b2)cos(α-φ)基础自测1.eq\f(\r(3),2) 2.eq\f(7,13) 3.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,8)+kπ,\f(3π,8)+kπ))(k∈Z)4.A 5.D题型分类·深度剖析例1 解 (1)原式=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)+2cos2\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)-cos\f(θ,2))),\r(4cos2\f(θ,2)))=eq\f(cos\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)-cos2\f(θ,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2))))=eq\f(-cos\f(θ,2)·cosθ,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))).因为0<θ<π,所以0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2),所以coseq\f(θ,2)>0,所以原式=-cosθ.(2)原式=eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)-sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos5°,sin5°)-\f(sin5°,cos5°)))=eq\f(cos10°,2sin10°)-sin10°·eq\f(cos25°-sin25°,sin5°cos5°)=eq\f(cos10°,2sin10°)-sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°).=eq\f(cos10°,2sin10°)-2cos10°=eq\f(cos10°-2sin20°,2sin10°)=eq\f(cos10°-2sin30°-10°,2sin10°)=eq\f(cos10°-2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°-\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)=eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)=eq\f(\r(3),2).变式训练1 (1)eq\f(2,sinα) (2)eq\r(6)例2 解 (1)∵eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4),∴0<α-β<eq\f(π,4),π<α+β<eq\f(3π,2),∴sin(α-β)=eq\f(5,13),cos(α+β)=-eq\f(4,5),∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-eq\f(3,5)×eq\f(12,13)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,5)))×eq\f(5,13)=-eq\f(56,65).(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]=eq\f(tanα-β+tanβ,1-tanα-βtanβ)=eq\f(\f(1,2)-\f(1,7),1+\f(1,2)×\f(1,7))=eq\f(1,3)>0,∴0<α<eq\f(π,2),又∵tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)=eq\f(2×\f(1,3),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)=eq\f(3,4)>0,∴0<2α<eq\f(π,2),∴tan(2α-β)=eq\f(tan2α-tanβ,1+tan2αtanβ)=eq\f(\f(3,4)+\f(1,7),1-\f(3,4)×\f(1,7))=1.∵tanβ=-eq\f(1,7)<0,∴eq\f(π,2)<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-eq\f(3π,4).变式训练2 (1)eq\r(2) (2)eq\f(16,65)例3 解 (1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))=eq\f(1-cos2x,2)+eq\f(1,2)sin2x+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)(sin2x-cos2x)+cos2x=eq\f(1,2)(sin2x+cos2x)+eq\f(1,2).由tanα=2,得sin2α=eq\f(2sinαcosα,sin2α+cos2α)=eq\f(2tanα,tan2α+1)=eq\f(4,5).cos2α=eq\f(cos2α-sin2α,sin2α+cos2α)=eq\f(1-tan2α,1+tan2α)=-eq\f(3,5).所以,f(α)=eq\f(1,2)(sin2α+cos2α)+eq\f(1,2)=eq\f(3,5).(2)由(1)得f(x)=eq\f(1,2)(sin2x+cos2x)+eq\f(1,2)=eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))+eq\f(1,2).由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(π,2))),得eq\f(5π,12)≤2x+eq\f(π,4)≤eq\f(5,4)π.∴-eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))≤1,0≤f(x)≤eq\f(\r(2)+1,2),所以f(x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(2)+1,2))).变式训练3 (1)最小正周期为π,最大值为2,最小值为-1(2)eq\f(3-4\r(3),10)课时规范训练A组1.B 2.D 3.C 4.eq\f(4,9) 5.1-eq\r(2) 6.eq\f(π,2)7.解 ∵A、B均为钝角且sinA=eq\f(\r(5),5),sinB=eq\f(\r(10),10),∴cosA=-eq\r(1-sin2A)=-eq\f(2,\r(5))=-eq\f(2\r(5),5),cosB=-eq\r(1-sin2B)=-eq\f(3,\r(10))=-eq\f(3\r(10),10),∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3\r(10),10)))-eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)=eq\f(\r(2),2),又∵eq\f(π,2)
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