..PAGE优选圆锥曲线的几何性质XX省仪陇新政校区魏登昆xyoF11F2AB一、椭圆的几何性质〔以+=1〔a﹥b﹥0〕为例〕1、⊿ABF2的周长为4a(定值)证明：由椭圆的定义即2、焦点⊿PF1F2中：〔1〕S⊿PF1F2=xyoF1F22P〔2〕〔S⊿PF1F2〕max=bc〔3〕当P在短轴上时，∠F1PF2最大证明：〔1〕在中∵∴∴∴(2)S⊿PF1F2max=(3)当=0时有最小值即∠F1PF2最大xyoF1F2PM3、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，那么M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长交于，连接由有为中点∴==xyoF1F2P所以M的轨迹方程为4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为∵=∴圆与圆内切∴以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切xyoF1F2PIIIR5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，那么∣IR∣：∣IP∣=e证明：证明：连接由三角形内角角平分线性质有∵∴yxoF1F2AB6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。∵∵xyoF1F2PPA·∵∴∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，那么：〔∣PA∣+∣PF2∣〕max=2a+∣AF1∣〔∣PA∣+∣PF2∣〕min=2a-∣AF1∣证明：连接∵∵∴∴〔∣PA∣+∣PF2∣〕max=2a+∣AF1∣〔∣PA∣+∣PF2∣〕min=2a-∣AF1∣xyoFA·8、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，那么〔∣PA∣+〕min=A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有∴〔∣PA∣+〕min==A到右准线的距离.9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上。证明：令☉I与⊿PF1F2三边所在的直线相切于M、N、AxyoF1F2PNIIA2IM∵∴∵∴∵∴∵∴xyoF1F2EKQP∴即为椭圆顶点。∴焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，那么KF2平分∠EF2Q证明：令P,Q到准线的距离为由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2QxyoFBA11、证明：令当的斜率存在时，设直线方程为∵∴∴=当的斜率存在时，∴xyoFBAP12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，那么〔定值〕证明：令，那么∵∵，∴∴xyoNMB2PB113、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别交长轴于N、M两点，那么有∣OM∣*∣ON∣=a2证明：∴∵由于、、共线∴∵由于、、N共线∴∴∵∴xyoFNA2PA1M14、椭圆的长轴端点为A1、A2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，那么M、N与对应准线的焦点X角为900证明：令，∴∵由于、、共线∴∵由于共线∴∴∵∴∵∴∴M、N与对应准线的焦点X角为900yxoM1F2AB15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点。证明：设那么的方程为即必过点16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设，那么过点的切线：，直线的法线交轴于直线的法向量为：yxoF1F2Plm∵∴同理∵同理∴∴即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。二、双曲线的几何性质〔均以为例：〕〔1〕•F1•F2P〔1〕焦点三角形面积：•F1•F2PMxy〔2〕(2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是F1F2Pyx(3)(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小的圆与外切。F1F2Ayx(4)B(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交F1F2Pyx(5)I(5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点F1F2Byx(6)CAMN〔6〕焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠M＝2arccosF1F2Pyx(7)A(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+＝－2aF1F2Pyx(8)AB(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，＋等于A到右准线的距离F1F2Pyx(9)〔9〕、焦点到渐近线的距离等于bF1F2Pyx(10)AB(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值F1F2Pyx(11)ABO〔11〕、P是弦AB中点K．K＝定值F1F2Pyx(12)MON〔12〕、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值ab(13)、过P的切线平分∠F1PF2〔光学性质〕即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点y•F1•F2PMx〔13〕12F1F2②yx(14)①③①②③〔14〕双曲线与渐近线把平面分成5局部双曲线上的点渐近线上的点区域①的点区域②的点区域③的点过渐近线上的点〔除中心〕只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别在两支上，过区域③的点作切线切点在同一支上，过区域②的点没切线，双曲线的切线斜率，区域①、②的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上〔除中心〕，双曲线上，区域③的点不可能是弦中点〔15〕直线L与双曲线的渐近线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，那么AC=BDF1F2yx(15)ABDC三、抛物线的几何性质均以抛物线X=-P/2FyxAP如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，＋等于A到准线的距离(2)过抛物线焦点F作弦AB，其中A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕那么有：①X=-P/2FyxAB②③④⑤⑥以AB为直径的圆与准线相切yxAB〔3〕过抛物线顶点作任意互相垂直的弦OA、OB，那么弦AB必过定点〔2p,0〕；反之亦成立，即过定点〔2p,0〕作直线交抛物线于A、B两点，那么有OA垂直OBFyxPQR〔4〕过抛物线焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R，那么〔5〕过抛物线H上任一点P〔X0,Y0〕的切线方程为
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