【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率定义：对任意事件A和事件B,在己知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率。事件的交(积)：由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或枳)。记作D=ACIB或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A印蔺收髡也堕丝牛房喝B发生的概率:若P(A)>0,贝IUP(AB)=P(B|A)P(A)(乘法公式);0
P(AB)=-^-=—P(A)=一1510所以，P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.二、相互独立事件定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。说明：判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有：P(A•8)=P(A)•P(B)说明：使用时，注意使用的前提条件；此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A・B)=P(A)•P(B)是A、B相互独立的充要条件.如果事件A”A」…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的枳。即：P(A「A：...•An)=P(Ai)P(A)...P(An)两事件是否互为独立事件的判断与证明P(A•B)=F(A)•P(B)O则称事件A、B相互独立解题步骤：例2.一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A,“第二个取出的是白球”为事件B,试问A与B是不是相互独立事件？答：不是，因为件A发生时(即第一个取到白球)，事件B的概率P(B)=1/3,而当事件A不发生时(即第一个取到的是黑球)，事件B发生的概率P(B)=2/3,也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。证明：由题可知，P(B|A)=l/3,P(B|A的补集)=2/3因为P(B|A)HP(B|A的补集)所以A与B不是相互独立事件三、独立重复试验定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验说明：这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并旦任何一次试验中发生的概率都是一样的.每次试验是在同样条件下进行.每次试验间又是相互独立的，互不影响.一般地，如果在1次实验中某事件A发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：Pn(k)是［(1-P)+PF的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.二项分布定义：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数&是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=l-p,那么在n次独立重复试验中P(6=k)=—p*q"其中蚌0,1,,n,q=i一p)于是可得随机变量&的概率分布如下：g01k•••nPC^q产5广・•・eg由于CfpW"*恰好是二项展开式0+b)=+U。b++Cqb+…+C力中的第k+i项,所以，称这样的随机变量&服从二项分布，记作&〜B(n,p),其中n,p为参数，并记：C；p"k=B"p)解题步骤例3.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%。现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数&的概率分布。解：依题意，随机变量&〜B(2,5%)「・P(&=0)=C?(95%)2=0.9025P(l=1)=己(5%)(95%)=0.095P(E=2)=C*(5%)2=0.0025因此，次品数&的概率分布是：012P0.90250.0950.0025四、几何分布定义：在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数&也是一个取值为正整数的随机变量。"&=k”
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示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第k次实验时事件A发生记为Ak，p(Ak)=p，事件A不发生记为Ak,P(Ak)=q(q=l-p),那么：P(S=k)=P(&.瓦.否…砧.&)=p(瓦)p(A)•p(弗•••p(砧)•P(&)=(1-P)i•P=qi•P(k=0,l,2...,q=l-p.)于是得到随机变量&的概率分布如下：C123«•••k•••PPpqpq2pqM•••称&服从几何分布，并记g(k.p)=p・qk"巩固练习:题组一条件概率己知盒中装有3只螺口与7只卡II灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯II向下放着，现需要一只卡II灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺II灯泡的条件下，第2次抽到的是卡I】灯泡的概率为（）a宜b2clDZ设A、8为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为希，在事件A发生的条件下•，事件8发生的概率为?，则事件A发生的概率为.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为.题组二相互独立事件（2010•抚顺模拟）国庆节放假，甲去北京旅游的概率为；，乙、丙去北京旅游的概率分别为?§假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）TOC\o"1-5"\h\zA里B：ID±5260如图所示的电路，有。，如c三个开关，每个开关开或关的概率都是旦是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（）A1B1甲II-1C2Dl6甲、乙两人参加一次英语II语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率.（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.题组三独立重复试验位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是§质点P移动五次后位于点（2,3）的概率是（）A.（务B.C；（务C.C；（务D.C；C；（务2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是$（1）求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；（2）若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率.题组四二项分布问题在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为盖，则事件A在1次试验中出现的概O1率为.3（2010-青岛模拟）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是或％.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率.求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少?参考
答案
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：题组一条件概率37217解析：设事件A为“第1次抽到是螺口灯泡七事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P(A)=远,P(AB)=yQX-=—=-在己知第1次抽到螺II灯泡的条件下，第2次抽到卡II灯泡的概率为P(44)=S^=^=*10答案：D解析：由题意知，P(AB)=土，P(B|A)=；,・P0B)_To_3・・WU—p(B|A)—「亍2答案：|解析：设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗-),出芽后的幼苗成活率为：P(B^)=0.8,P(A)=0.9.根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)・P(A)=0.9x0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.72题组二相互独立事件解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为§§因此，他们不去北京旅游的概率分别为¥，p所以，至少有12343人去北京旅游的概率为2=1—3怨=¥答案：B解析：理解事件之间的关系，设七闭合”为事件A,咯闭合”为事件8,七闭合”为事件C,则灯亮应为事件ACB,且一I一IA,C,B之间彼此独立，且P(A)=P(B)=P(C)=万，所以P(ABC)=P(A)・P(B)P(C)=-答案：A解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则p(A)=C：C；+C；TOC\o"1-5"\h\z'7「3厂33J】。'o邮)=夸只.(2)因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为214IP(AB)=P(A)P(B)=(1一§)(1—话)=石所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为I44P=l-P(A'B)=l-—=—题组三独立重复试验解析：质点由原点移动到(2,3),需要移动5次，旦必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动
方法
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有C；种，而每一次移动的概率都是;，所以所求的概率等于C；g)5.答案：B解：⑴记“该考生正确做出第i道题”为事件A0=I,2,3,4),则P(A,)=j,由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时，己正确做出了两道题的概率为p(a血77)=p(Ai)・p(A2)p(7T)3319_4X4X4_64'(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B,则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故P(B)=C：x(j)《+C：十(|)4=撰.题组四二项分布问题解析：A至少发生一次的概率为*,则A的对立事件K：事件A都不发生的概率为1—盖=£=《)七所以，A在一次010101J9I试验中出现的概率为1—答案：I解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A】.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验.故P(Ai)=l—P(Ai)=1-(|)，=舞’所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为船.O1记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件Az,“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件氏，贝IJP(A2)=C；x(|)W—护-2=*,P(&)=C；X§3x(l—»4-3=着由于甲、乙射击相互独立，故P(AW=P(/h)P(&)=畀名=§所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为§O记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3,“乙第，次射击未击中”为事件D,Q=1,2,3,4,5),贝U人3=。5。4，。3"(D：Di)>旦P(D)=§由于各事件相互独立，故P03)=P(D5)-P(Z)4)-P(D^)P(D：D1)1131145=丁7^、(1_丁示)=国.所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为湍〒
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