圆锥曲线中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；求弦中点的轨迹方程问题；求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题22例1过椭圆——1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的164直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2222(4k1)x8(2kk)x4(2k1)1608(2k2k)X1X224k1x12X24(2k2k)又M为AB的中点，所以-一2，24k211解得k2故所求直线方程为x2y40。解法二：设直线与椭圆的交点为A(X1,y)B(X2,y2)，m(:2，1)为AB的中点,又设直线与椭圆的交点为A(x1,yJ，B(X2,y2)，则X1,X2是方程的两个根，于是22X24y216，所以X1X24，y1y22，又A、B两点在椭圆上,则X124y122两式相减得(人2X22)4(y1y22)y1y2所以-2X1X21即x1x24(y1y2)2故所求直线方程为X2y40。16，0，解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为则另一个交点为B(4-x,2y)，因为A、B两点在椭圆上，所以有12，A(x,y)，由于中点为M(2，1)，x24y216x)24(2y)216两式相减得x2y40,由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x2y40。、求弦中点的轨迹方程问题x2例2过椭圆642—i上一点P(-8，o)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。36解法一：设弦PQ中点M(x,y)，弦端点P(Xi,yJ,Q(x2,y2),2则有9Xi22i6yi576222，两式相减得9(XiX2)2i6(yi2y2)o，9x2i6y2576又因为xiX22x，yiy22y，所以92x(xiX2)i62y(yiy2)o，所以也空9x，而kyo,,PQ，故9xy0xix2i6yX(8)i6yx822化简可得9x72x16y0(x8)。解法二：设弦中点M(x,y),Q(xi,yi)，由xx18y1丁，y-可得xi2x8，yi2y，又因为Q在椭圆上，所以2Xi64222di，即址也i366436所以PQ中点M的轨迹方程为(x4)2i6(x8)。三、弦中点的坐标问题2例3求直线yxi被抛物线y4x截得线段的中点坐标。2解：解法一：设直线yxi与抛物线y4x交于A(xi,yi)，B(x2,y2)，其中点yxiP(xo,yo)，由题意得2，y4x22消去y得(xi)4x，即x6xi0，所以xoX~|X3，yoxoi2，即中点坐标为(3,2)。解法二：设直线2由题意得yi2y22yxi与抛物线y4x交于A(xi,yi)，B(X2,y2)，其中点P(Xo,yo)，4xi4x2两式相减得2y22yi4(X2xi)，设A（Xi，yJ、B2(X2,y2)则Axi小2CyiDx1Ey11Fo•…(1)2Ax22Cy2DX2Ey2Fo……(2)(1)(2)得A(XiX2)(XiX2)C(yiy2)(yiy2)D(XiX2)E(yiy2)o...2Axo(XiX2)2Cyo(yiy2)D(XiX2)E(yiy2)o.(2AxoD)(XiX2)(2CyoE)(yiy2)oyiy22AxoDkAB即2AxoD..2CyoEo.x1x2.X1x22CyoE2CyoE。（说明所以(y2yi)(y2yi)4，X2X!所以yiy4，即yo2，Xoyo13，即中点坐标为（3,2）。上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。论F面我们看一个结引理的中点，则22设A、B是二次曲线c：AxCyDXEyFo上的两点，p（Xo,yo）为弦ABkAB2AXoD2CC(2CyoE°)B时，上面的结论就是过二次曲线C上的点2AxoDP（Xo,yo）的切线斜率公式，即2Cyo推论1设圆X（yo斜率为）0)kAB2yDxEyFo的弦ab的中点为2xoD2y。E。（假设点P在圆上时，则过P(xo,yo)2xoD2yoE点P的切线推论2设椭圆2X~2a2y_b2的弦AB的中点为p（Xo,yo）yo对awb也成立。假设点b2?xo-ay。。(注kAB，则-a0)kP在椭圆上，则过点P的切线斜率为22xy2ayo1b2的弦AB的中点为P（Xo,yo）kb2?^°设点p在双曲线上，则过p点的切线斜率为a%）推论3设双曲线yo0）则ABay。。（假推论4设抛物线y2pX的弦AB的中点为P（Xo,yo）（yokABo)则_Pyo。（假设点Pk在抛物线上，则过点P的切线斜率为yo我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。2X例1、求椭圆25解：设P(x,y)是所求轨迹上的任一点,75、241例2、已知椭圆相交于p(Xo,o)2L116斜率为3的弦的中点轨迹方程。c16cX3—?—则有25y,故所示的轨迹方程为16x+75y=075——).2412Xa2y_b21(a，求证:b2o),A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线I与X轴2,2abXo证明：设AB的中点为b2B~2a丁(为，％)，由题设可知2ab1AB与x轴不垂直，•y10,yiki•的方程为：2aX1~2~7"2ab.丄AB2咅?％bx1?!?xoa2b2b2Xoa2C:yx，直线Xi)令y=o2aa2byi2肖?{(XoKJ例3、已知抛物线l:yk(x1)1,要使抛物线C上存k的取值范围是什么?在关于1对称的两点,解：设C上两点A、中点为pCx。，y°)B两点关于丨对称，AB0)yo_Pyo12yoikk(Xo1)1,h24yok.2■:P€I•yo1丄XoP(-2k211k32kk(Xo1)1,ik)••P在抛物线内，2(k2)(k2k2)04k'44k•••2k0.与抛物线有关的弦的中点的问题（1）中点弦问题：\y=处+1与+bx-y=佼于两点I且这两点关于直绻+»=0对称，贝临+占=?令两交点是（兀心（m都满足二次曲践方程.珂+乃+殂-儿=i（i）4.,匕十灯十加2-儿二1（2）⑴・⑵有（禺-毛）（％+忑）+01-対3十珈十乃（用-小一01-旳）=2同瞻01-巧〉有（可+可）+単二马5+幻+心-竺二咚-g（珂一延）（帀一咼〉塾二理就是直线的斜率印（珂+吃n（”十旳）就是交点中点坐标的两倍.由关于另一E-花）直线对称，所以己=亠且奁点的中点就是两直统交点为（D所以』可+工立二1」十乃二h所以又有1十（・1）十卜（・1）=U得至!lh—1卜（上题麻烦了。是圆不用中点法）2例1由点（2,0）向抛物线y4x引弦，求弦的中点的轨迹方程。分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。解法1:利用点差法。2设端点为Ag%），B（X2,y2），则yi4xi，y224x2，两式相减得y2yi4(X2xj，①①式两边同时除以X2Xi，得（y2yi)y2yiX2Xi4，②设弦的中点坐标为(x,y)，则XiX22x，yiy22y，③又点（x,y）和点（2,0）在直线AB上,所以有yXy2yi。2x2xi④将③、④代入②得2y七4，2整理得y2(x2)。x2故得中点的轨迹方程是y22(x2)在抛物线亍4x内部的部分。解法2:设弦AB所在直线的方程为yk(x2),TOC\o"1-5"\h\zyk(x2)(1)2由方程组2消去x并整理得ky24y8k0，(3)HYPERLINK\l"bookmark48"\o"CurrentDocument"y4x(2)4设A(为，yj、B(X2,y2)、中点(x,y)，对于方程(3)，由根与系数的关系，有yiy?-,k...y里立2代入(1)得y22(x2)2k22故得所求弦中点的轨迹方程是y2(x2)在抛物线y4x内部的部分。评注：(1)求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点(x,y)与已知条件的内在联系，列关于x,y的关系式，进而求出轨迹的方程。(2)弦中点轨迹问题设抛物线y22pxp0)的弦AB,A(xi,yi),B(X2,y2)，弦AB的中点C(xo,yo),2yi2pxi则有2(1)⑵'小2(i)—(2)得yi2y22p(XiX2),.yiyXiX22pyiy2将yiy22yo,kAByi里，代入上式，并整理得kABX2Xi—，这就是弦的斜率与中点yoy22px2的关系，要学会推导，并能运用。例2已知抛物线y22x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。解：如图，设弦AB的中点为M，并设A、B、M点坐标分别为(Xi,yi),(X2,y2),(X,y),2TOC\o"1-5"\h\z根据题意设有yi2xi,HYPERLINK\l"bookmark159"\o"CurrentDocument"2小y22x2,x-ix22x,yiy22y,yiy2yk(x2)1，将方程代入y2x，利x1x2④代入①—②得，2y(yiy2)2(XiX2)•••XiX2,/yiy2i?⑥XiX2y⑥代入⑤得，2yyx2，即(y2)2x评注：本题还有其他解答方法，如设AB的方程为用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题⑴性置关系：改絨门》=虹+刖伽鼻0》*抛物线/=2pA(p>o)联立解徘：ky1-2py+2pm-0曲若氐二0・罠线与抛物线的对称轴平疔或重合、盲线与抛物线和仝丁一点&若t融0・A>0=>A线与抛物线相交’有两个交点：A=0=>直线与如物线相切.冇-个交点；岛<0=>肖线与牠物线相离.无愛点；(2｝相兗ft恭：H线与鬪惟曲线相交的眩氏公式设宜姣i.y=kx+n*恻锥曲线:/(r,v)=0t它ff］的交点为Pi创样i｝，刊佝ghF(a,v)=0,,・消去Y符伺丹X+m+/>=00时即Ik^k-KO,解得丄于是当l0,于邸当U或2孑时』理(1)没和眄从Iff解得k<・1或£>-方裡爼没有解•此时直甥I与拋鞠端没有交底我绦上所迷:S-lA>0[2x-y-3=0所以直线/的方程为y-l=2(x-2XBp2x-y-3=0说明'中点弦问滋的常见毎決方肚匕点空法例3己細抛物纯的顶戊在原点•您林杏.c轴的正半轴I」，口线.V=-k+1被抛物线所蔽得的弦ab的中点的纵坐标为—2*仃)求抛物线的方程：(2)是否心柜异」也点的址点便得过H的功肖纯与抢物线和交丁氏。1西点・IL以PQ为貢袴帕鬪过乐点？解(1)：由条件可设抛詢线方程为二/=2px(p>0)综上：存在异于原点的逗点H(16*0)満足条件*例4己知山线f过宦点抛物线C:y2=2px(p>0)交1卩、Q两点丫若以PQ为直能的圖恒过原点0・沫卩的ffb躺可设直线』的力程为x=m>+4代入y'=2p.t得y~—2pfny—8p=0*设尺丙』)，a如”)-22则丫佶二―匹-亠2”2/?由题意知’(JP1OQ.则OPOQ=Q即x,x2+>']y2=16—8p=0此时.抛物线的方科为Vs=4a*例5办抛物线于=64x上求一点.便到F【饭4x+3y+辆=0的跆离越⑴・并求出最短距离"解*设与直线4x+3v+m=0半讦1*与椭岡相切的育线方稈为；x-y+m^O联#化简Wy]+4S.v-4^=0(*>±A=0解得»j=-12,故切绒方程为，4x+3y-12=O代入戏曲线方程解轉<9-24)最用韭离d=22例6求直线yx1被抛物线y4x截得线段的中点坐标。2解：解法一：设直线yx1与抛物线y4x交于A(x1,y1),B(x2,y2)，其中点yx1P(xo,y°)，由题意得2，y4x22消去y得(x1)4x，即x6x10，x1x2所以Xo-223，yoXo12，即中点坐标为(3,2)。解法二：设直线2由题意得y12y21与抛物线4x交于A(X1,y1)，B(X2,y2)，其中点P(xo,y°)，4x1?4x2两式相减得2y22y14(x2x1)，所以(y2y1)(y2y1)4，X2X1所以y1y4，即yo2，Xoyo13，即中点坐标为(3,2)。用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(Xi,yJ、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。本文用这种方法作一些解题的探索。以定点为中点的弦所在直线的方程22例1、过椭圆£七1内一点M(2，D引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为A(Xi,yi)、B(X2』2)M(2,1)为AB的中点x1x24y1y2216两式相减得22(X1X2)24(y12y2)0于是(X1X2)(X1X2)4(y1y2)(y1y2)0y1y2X-iX241X-IX24(y1y2)422即kAB1故所求直线的方程为y11(x2)，即x2y40。22又A、B两点在椭圆上，则2,22.2X14y116，X24y2y2例2、已知双曲线X221，经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且A(Xi,yJ、则XiX2yiy2222y1X122X2两式相减，得(XiX2)(XiX2)y2)0kAB%y22X-IX2故直线AB:y2(x1)这说明直线2(X2y24)21)1消去y，得2x24xAB与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在;若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。22例3、已知椭圆——7525过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹1的一条弦的斜率为3，它与直线X-的交点恰为这条弦的中点2求点M的坐标。1解：设弦端点P(x「y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(x°,y°)，则Xo2X1X22xo1，y1y2yo又y1X11y2X2175257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(X1X2)(X1即2y0(y1y2)3(X1X2)0y1y2X1X2ky1y2333，即y。X1X22y02222X2)032y012点M的坐标为1(212)设弦端点P(x1,y1)、Q(X2」2)，弦PQ的中点M(x,y)，则x1x22x，y1y22y2222y1x1又1-1，y2X2175257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(X1X2)(X1X2)0即y(y1y2)3x(%X2)0，即Jy23xX1X2y,y1y2小3xk123—3，即xy0X1X2y1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解:2例4、已知椭圆—7525X由匚751，得P(2553253)2)在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为xy求与中点弦有关的圆锥曲线的方程3x2截得的弦的中点的横坐标例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,.50)的椭圆被直线l:为-，求椭圆的方程。222TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark46"\o"CurrentDocument"yx22解：设椭圆的方程为牙—1，则a2b250……①ab设弦端点P(xi,yi)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(xc,y°)，则13xo212xo1,y1y22yoxo，yo2X1x222222y1X11,y2X2d乂2,2ab2ab21两式相减得b2(y1y2)(y1y2)a2(为X2)(X1X2)02即b(y1y2)a|2(X1X2)022y1y2a与3—-②X-!X2b2bTOC\o"1-5"\h\z联立①②解得a275,b22522所求椭圆的方程是-x17525四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题224xm，椭圆上总有不同xy例6、已知椭圆1，试确定的m取值范围，使得对于直线yHYPERLINK\l"bookmark166"\o"CurrentDocument"43的两点关于该直线对称。R(x,y)为弦RR的中点,解：设RX,%)，F2(X2,y2)为椭圆上关于直线y4xm的对称两点,22小2,2…则3人4yi12，3x24y2122222两式相减得，3(x1X2)4(%丫2)0即3(花X2XX1X2)4(%y2)(y1y2)0y1y21X1X22x，y1y22y，HYPERLINK\l"bookmark193"\o"CurrentDocument"x1x24y3x这就是弦RF2中点R轨迹方程。它与直线y4xm的交点必须在椭圆内y3xxm232联立y，得则必须满足y3x，y4xmy3m4即（3m）23-m2，解得42.132.13m1313五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，禾U于培养学生的解题能力和解题兴趣。Email:IanHYPERLINK"mailto:qi-happy@163.com"qi-happy@163.com