椭圆及其
标准
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方程一、教学目的(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点经过对椭圆观点的引入与标准方程的推导，培养学生剖析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点经过对椭圆标准方程的推导的教学，能够提高对各样知识的综合运用能力．二、教材剖析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决
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：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程独自列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步达成，每步重点解说，重点步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、解说、详尽解说、演板、剖析解说、学生口答．四、教学过程(一)椭圆观点的引入前面，大家学习了曲线的方程等观点，哪一位同学回答：专心爱心专心11：什么叫做曲的方程？求曲方程的一般步是什么？其中哪几个步必不可少？上述学生的回答基本正确，否，教予正．便于学生温故而知新，在已有知基上去探究新知．提出一以便明准方程推中一个同解形．3：的几何特点是什么？你可否可似地提出一些迹命作宽泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离常数的点的迹是”．同学提出的迹命如：“到两定点距离之和等于常数的点的迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的迹．”教要加以肯定，以鼓励同学的探索精神．比方，若同学提出了“到两定点距离之和等于常数的点的迹”，那么点迹是什么呢？教示范引学生：取一条一定的，把它的两头固定在画板上的F1和F2两点(如2-13)，当大于F1和F2的距离，用笔尖把子拉，使笔尖在板上慢慢移，就能够画出一个．教一步追：“，在哪些地方？”有的同学：“立体几何中的直．”有的同学：“人造星运行道”等⋯⋯在此基上，引学生归纳的定：专心爱心专心2平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特点——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，获得的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，能够知道它的基本几何特点，但对椭圆还拥有哪些性质，我们还全无所闻，所以需要用坐标法先成立椭圆的方程．怎样成立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点成立坐标系应按照简单和优化的原则，如使重点点的坐标、重点几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选用方法是适合的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，成立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上随意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．点的会合由定义不难得出椭圆会合为：专心爱心专心3P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．代数方程化简方程化简方程可请一个反应比较快、书写比较
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的同学板演，其余同学在下面达成，教师巡视，适合赐予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的原因详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和睦而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．对于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；专心爱心专心4-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y交换即可获得．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴能够根据分母的大小来判断焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．剖析：先根据题意判断轨迹，再成立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，成立直角坐标系．2a=10，2c=8．a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：练习2下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是[]专心爱心专心5由学生口答，
答案
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为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．专心爱心专心63．求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．六、板书设计专心爱心专心7专心爱心专心8
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