2014年高数C被用考试及答案作者:日期:高等数学C试卷一、单选题(每小题3分，共15分)1、设函数f(x)在点X。处连续，则下列结论正确的是(D)A、limf(x)-f(xo)必存在b、|jmf(x)=0XY。x-X。x>x0C、当x>x0时，f(x)-f(x。)不是无穷小量D、当Xrx0时，f(X)-f(X0)必为无穷小量2、设f(0)=0,且lim。f(x)存在，则limJ0f(x)X等于(A、f(X)B、f(0)C、f(0)D、12f(0)sin2(x-1)3、设函数f(x)=X-12x12-1X::1X=1X1则limf(x)等于(D)C、不存在4、若f(x)dx=Xc，则xf(1-x2)dx二(DA、2(1-X4、设xf(x)dx二C，则f(x)=)2cB、-2(1_x2)2f(x)>0,f(x)<0f(x)>0,f(x)>0C、f(x)<0,f(x)<0f(x)<0,f(x)>02A、xex—2B-xex2eX22—X一2e5、设f(x)=lnx，则df(x)cosxsinxsinxxcosxsinxxsinxA、B、—cosx二、填空（每小题3分，共15分）（要求把答案填在答题纸上）1、设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2015),则f'(0)=-2015!2、设limf'(x)二k,则limf(xa)一f(x)x_ic3、4、5、32若点（1，3）是曲线y=axbx-1的拐点，贝Ua=-1，b=1—的n阶麦克劳林展开式为（带皮亚诺型余项自皿）.若f(x)的一个原函数为cosxU.f'(x)dx=-sirxC三、计算题（每小题7分，共42分）丄、求不定积分・Edx解:原式匕氏(1-u)(令1一X二u)uu「du(u"1-2u2-3-u-1-u)du2、dx(1-x)(1x)解:原式x-1x1)dxCdx)1=--C—dx-.x-1x1--bn23、计算x21dx•x21x3X-Xx(x21)_Xxx-x21x21x212dx=x21x)dx=xdx-x212dxx214、求x2Inxdx.d(x21)2112x2-1ln(x21)C2213解：xlnxdxlnxdx3'」x3ln3xx3dlnx3131.xxdx3x12,335、已知f(x)=xbxc在x=1处有极值-2，试确定系数b、c，并求出所有的极大值13xIn3x3Inx-二x2dx_与极小值•解：f(x)=3x2b由题意得：f(1)--2,f(1)=0-3x得:f(x)=3x2-3=3(x-1)(x1)=0当x(-：：，一1)时，f(x)0；当x(-1,1)时，f(x)：：：0；当x(1,：：)时，f(x)0.故函数讨二f(x)在X=-1取得极大值为2,在x=1处取得极小值为-2.6、设f=y(x)由已知■=xfXt2)，求心iy=arctantdx2解:1/dyFT1dx一2t一2t1+t2(4分)d2ydx21t24t3(7分)TOC\o"1-5"\h\z四、求函数y=x3-3x2-1的单调区间、凹凸区间、极值和拐点(10分)解：•••y'=3x2-6x=3x(x-2)y''=6x-6=6(x-1)——3分•••(-：：,0)(2,•：：)时，单调递增；(0,2)时，单调递减。5分(-：：,1)时，凸；x(1,:=)时，凹。7分当x=0时，取得极大值f(0^-1;10分当x=2时，取得极小值f(2)二-5；拐点(1,-3)0.
证明
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五、设函数f(x)在0乞x：：：a上的二阶导数存在，且f(0)=0,f(x)g(x)二在0:::x：：：a上单调增加.(10分)x证明：：0乞x：：：a,f(x)0,.f'(x)为增函数3分f'(x)也f(x)-f(0)x-0f(x)x5分令x1:::x2，且x1,x^(0,a)，贝Uf'(xj：：f'(x2)7分即limf(x1)：：女叫f(x2)g(xj：：g(x2)故不等式成立10分六、证明题(8分).(0,a),设f(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明至少存在一点'使得f()f(^0.证明：令「(x)二xf(x),3分Tf(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导，='(0)=0,(a)二af(a)=0：(0)=(a)——6分由罗尔定理得到，至少存在一点-(0,1)，使得「「)=0.即f(rf()=0.——8分122D、一2(_x)c5、若在(」：，：：)内f(-x)二f(x)，在(-：：,0)内f(x)>0且f(x)<0则在(0,22(1_x)
浙公网安备 33021202002483