换元法解方程西安市第八十五中学江树基换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分,达到化简的目的.换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的,不同的方程就有不同的换元方法,因此,这种方法灵活性大,技巧性强•恰当地换元,可将复杂方程化简,以便寻求解
题
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的途径•常用方法有均值代换、多元代换、常数代解分式方程、无理方程、咼次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次,实现这一基本思想的方法有多种,其中换元法是常用的一种重要方法,本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧.一、分式方程例i解方程贡^飞厂九分析:这个方程左边两个分式互为倒数关系,抓住这一特点,可设2^3^-2解:则原方程可化为-2y+—=2*即y1-2y+1=0.y•••(y-1)2=0,解得y=1.由-^-=h得^-2x-2=0,解得生-21+弟1-J7=^—-宝r■经检验,x1,x2都是原方程的根.注上形如af■++c=0的方程.可ifty=ECx)*例2解方程分析:观察方程的分母,发现各分母均是关于x的二次三项式,仅常数项不同,抓住这一特点,可设y=x2+2x.解:设y=x2+2x,则原方程可化为122Qn1-2+=,即=(y-7y-2y-Iy-7(y-2)(y-1)即y2-y-12=0,解得y1=4,y2=-3.由掘*+2s-4?解得葢彳二」土躬.x2+2x=-3,无实数解.经检验剜孔厂-1士击都是原方程的解.例3解方程111n-—+_+—■Qx2+1lx+10x2+2x+10x2-13x+10分析:观察方程的分母,发现三个分母都是关于x的二次三项式,仅一次项不同,抓住这一特点,可设y=x2+2x+10.解:设y=x2+2x+10,则原方程可化为111,+—+=07y+yy-\5x解得yi=9x,y2=-5x.由x2+2x+10=9x,解得Xi=5,X2=2.由x2+2x+10=-5x,解得X3=-5,X4=-2.经检验知,它们都是原方程的解.注:以上三个例子可看出,换元时必须对原方程进行仔细观察、分析,抓住方程的特点,恰当换元,化繁为简,达到解方程的目的.二、无理方程例4解方程幼门巨+JT"=1.解;i殳尸则^=y2-L原方程可化为十j+y=1,即站y"十1=1-y.两边立方,并整理得y3-2y2+3y=0,即y(y2-2y+3)=0,•••y=0或y2-2y+3=0,无解.由J7肓“,解得经检验知x=-1是原方程的解.注:此题还可设y=莎巨.例5解方程畅辽+啄"二1=山分祈:注意到原方程可变为坂肓=n可设两个未知数,利用韦达定理解.解I设抵+1二g甘弓-x原方程为m+n=1,又•••(m+n)3=m3+n3+3mn•(m+n)=4+3mn=1,•mn=-1.二扳1,两边立方,得(x+1)(3-x)=-1,即x2-2x-4=0,解得1-之2经检验知,Xi,X2是原方程的解.例&解方程(花m+2尸+(盅H+疔=52.絡设(心+2);(乐―+书三卞+加外原方程变为(y-1)2+(y+1)2=52,解得y=±5.由Vx-2+3=5S解-10,由Vx-2+3--5r解得蛊=_510.经检验知,x=1O,x=-510是原方程的解.例孑解方程旅七圧!+解:跖=则蓋原方程可变为Jx-=2.即扌[心+2)2+曲-2)”]=2,•••|y+2|+|y-2|=4,当yv-2时,-y-2-y+2=4,—y=-2(舍去).当-2
2时,y+2+y-2=4,y=2.•••-2A.亦-1B.导辰-2-1Da-1甜TQq,方程两边平方整理得罠-5?=站十X,显然日』〉■叽再把上边方程两边平方整理得x4-2ax2+a2-a-x=0,—a2-(2x2+1)a+(x4-x)=0,解得(2宀I)士阻2+1):-4(/-R2x^+1+J(2x+1尸才+x+1或a=^2-X由①得只二1一也彳C'-*-4a-3>C舍去负值,.'.盘=—.由②得-x=a-x2,va-x2>0,-xv0,方程②无解.故选(C).注:此例中把字母a视为变量,反而把x看成常量,这种反客为主的替代法称为“常数代换”法.三、高次方程例9解方程(x+3)4+(x+1)4=82.原方程变为(y+1)4+(y-1)4=82,整理得y4+6y2-40=0,解得yi=2,y2=-2.由x+2=2,得xi=0.由x+2=-2,得X2=-4.所以原方程的解是x1=0,x2=-4.注:一般地形如(x+a)4+(x+b)4=c的方程可用均值法,设y匕二^弋+斗逬行代换,化原方程为双二次方程求解.例10解方程6x4+5x3-38x2+5x+6=0.解:显然x=0不是方程的解,故用x2除方程两边,整理得6(x2+”、、八21/J八1亠—"?1V)+5G+1)-3S-0.7八'7、八1亠丨7/_?_L^•亠177\八-贝IJy<2=x3+X占=于是上式变为6(y2-2)+5y-X38=0,解得510y>=2-7a=T由H,解得sL=2f衍二£・TOC\o"1-5"\h\z艺乙由55+丄■-耳,解得巾=寻X4=・K.3_?故原方程解为孔=2,衍=£也=J,k4=-|*注:1.形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称倒数方程.其特点是,与首末两端等距离的项的系数相等•其解法是,用x2除各项.并按下述方法并项得aZ+二〕+b&+丄)+C=0.ifty=K+-!原方程可XXX化为a(y2-2)+by+c=0使冋题得解.2.形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程,其特点是:与首末两项等距离的偶次幕的项的系数相等,奇次幕项的系数的绝对值相等而符号相反,用x2除方程两边,并按下述方法并项,得a(x2+-y)-b=0s=s--,原方程变为金(护+2)-by+cXKX=0,即可求解,