人教版九年级数学河北专用教案：第二十八章 锐角三角函数

人教版九年级数学河北专用教案：第二十八章锐角三角函数第PAGE页第二十八章　锐角三角函数28.1　锐角三角函数第1课时　正弦01　　教学目标1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.2.理解并掌握锐角的正弦的定义.3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.02　　预习反馈阅读教材P61～63，自学两个“思考”、“探究”及“例1”.(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c).如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c＝5，sinA＝eq\f(3,5).(2)sin30°＝eq\f(1,2)，sin45°＝eq\f(\r(2),2)，sin60°＝eq\f(\r(3),2).03　　名校讲坛例1　(教材例1变式)如图，求sinA和sinB的值.【解答】　在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,\r(34))＝eq\f(3\r(34),34)，sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(5,\r(34))＝eq\f(5\r(34),34).【点拨】　正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.【跟踪训练1】　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a∶b∶c＝3∶4∶5，求sinA，sinB的值.解：设a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，∴a2＋b2＝c2.∴∠C＝90°.∴sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(3k,5k)＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(b,c)＝eq\f(4k,5k)＝eq\f(4,5).【点拨】　此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知识来做.例2　(教材例题补充例题)已知在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(1,3)，BC＝2，求AC，AB的长.【解答】　∵∠C＝90°，sinA＝eq\f(1,3)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,3).∵BC＝2，∴AB＝6.由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(62－22)＝eq\r(32)＝4eq\r(2).即AC＝4eq\r(2)，AB＝6.【跟踪训练2】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24cm，sinA＝eq\f(5,13)，则AB边的长度为26__cm.04　　巩固训练1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则sinA的值为(A)A.eq\f(5,13)B.eq\f(5,12)C.eq\f(12,13)D.eq\f(13,5)2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值(C)A.扩大100倍B.缩小到原来的eq\f(1,100)C.不变D.不能确定3.如图，在网格中小正方形的边长均为1，三角形的三个顶点都在格点上，则sinα的值是(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,4)4.如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sinα＝(A)A.eq\f(2\r(13),13)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(7),3)　　5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是eq\f(\r(5),5).6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC于点D.(1)sinA可以为哪两条线段之比？(2)若AC＝6，BC＝4，求sinA的值.解：(1)sinA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(DC,BC).(2)sinA＝eq\f(2,3).05　　课堂小结锐角的正弦的定义及求法.第2课时　锐角三角函数01　　教学目标1.掌握余弦、正切的定义.2.了解锐角∠A的三角函数的定义.3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.02　　预习反馈阅读教材P64～65，自学“探究”与“例2”.(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c).∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c＝5，cosA＝eq\f(4,5)，tanA＝eq\f(3,4).(2)∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.03　　名校讲坛例1　分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.【解答】　在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(132－122)＝5，∴sinA＝cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，cosA＝sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13)，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(5,12)，tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(12,5).【点拨】　利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.【跟踪训练1】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，sinB＝eq\f(1,2)，则a＝eq\r(3)，b＝1，S△ABC＝eq\f(\r(3),2).例2　(教材例题补充例题)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(12,5)，求sinA，cosA的值.【解答】　在Rt△ABC中，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(12,5)，∴设BC为12x，AC为5x，由勾股定理，得AB为13x.∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(12x,13x)＝eq\f(12,13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(5x,13x)＝eq\f(5,13).【点拨】　若已知直角三角形中某种三角函数的值，应先设出与这种三角函数相关的边的长度，再根据勾股定理求出第三边长，从而求出其他锐角三角函数的值.【跟踪训练2】　在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝eq\f(1,3)，那么sinB的值是(A)A.eq\f(2\r(2),3)B.2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.3例3　如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sinA的值.【解答】　过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(2S△ABC,AB)＝eq\f(2×84,15)＝eq\f(56,5).在Rt△ACD中，sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\f(56,5),13)＝eq\f(56,65).【点拨】　求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB的长，故可通过点C作高CD.【跟踪训练3】　如图，△ABC在5×5的正方形网格中，则tan∠ABC＝eq\f(3,2).04　　巩固训练1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示正确的是(A)A.sinA＝eq\f(2,3)B.cosA＝eq\f(2,3)C.tanA＝eq\f(2,3)D.tanB＝eq\f(3,2)2.在△ABC中，若AC∶BC∶AB＝5∶12∶13，则tanA＝(D)A.eq\f(12,13)B.eq\f(5,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(12,5)3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(3，1)，则cosα的值是(B)A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(1,3)D.34.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是eq\f(3,4).5.如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则cos∠AOB＝eq\f(2\r(5),5).6.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为eq\f(1,2).05　　课堂小结1.本节学习锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.2.求一个锐角的锐角三角函数值一定要放到直角三角形中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形.第3课时　特殊角的锐角三角函数值01　　教学目标1.掌握30°，45°，60°角的锐角三角函数值，能够用它们进行计算.2.能够根据30°，45°，60°角的锐角三角函数值，说出相应锐角的大小.02　　预习反馈阅读教材P65～67，自习“探究”、“例3”与“例4”，完成下列 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 .　　　锐角A锐角三角函数　　　　)30°45°60°sinAeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosAeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanAeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)03　　名校讲坛例1　求下列各式的值：(1)cos230°＋sin230°；(2)eq\f(cos45°,sin45°)－tan60°.【解答】　(1)cos230°＋sin230°＝(eq\f(\r(3),2))2＋(eq\f(1,2))2＝1.(2)eq\f(cos45°,sin45°)－tan60°＝eq\f(\r(2),2)÷eq\f(\r(2),2)－eq\r(3)＝1－eq\r(3).【点拨】　sin230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.【跟踪训练】1.计算：(1)|3－eq\r(12)|＋(eq\f(\r(6),2＋\r(2)))0＋cos230°－4sin60°；(2)eq\r(2)(2cos45°－sin60°)＋eq\f(\r(24),4)；(3)(sin30°)－1－20180＋|－4eq\r(3)|－tan60°.解：(1)原式＝－eq\f(5,4).(2)原式＝2.(3)原式＝1＋2eq\r(3).2.直线y＝kx－4与y轴相交所成的锐角的正切值为eq\f(1,2)，则k的值为±2.【点拨】　构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况.例2　(教材补充例题)如图，在高为2m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2m，共需地毯的面积为(4eq\r(3)＋4)m2，则α为多少度？【解答】　由题意，得BC＋AC＝eq\f(4\r(3)＋4,2)＝2eq\r(3)＋2，∴AC＝2eq\r(3).在Rt△ABC中，∵tanα＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝30°.答：α为30度.【点拨】　此题应该先理解BC＋AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求出AC的长，然后根据tanA的值得知α的度数.【跟踪训练】　3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝eq\r(3)c，则∠A＝60°.04　　巩固训练1.如果α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值为(A)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.12.计算2sin30°－2cos60°＋tan45°的结果是(D)A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.13.如果在△ABC中，sinA＝cosB＝eq\f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是(C)A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则三边的比a∶b∶c等于(B)A.1∶2∶3B.1∶eq\r(3)∶2C.1∶1∶eq\r(3)D.1∶eq\r(2)∶25.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)A.10米B.15米C.25米D.30米6.已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2)，则α＝45°.7.求下列各式的值：(1)cos30°＋2sin60°－2tan45°；(2)eq\f(tan30°,cos245°)＋eq\f(sin60°,sin30°).解：(1)eq\f(3\r(3),2)－2.(2)eq\f(5\r(3),3).05　　课堂小结本节主要学习了特殊角的锐角三角函数值，已知角的度数可求出其正、余弦和正切值，也可根据角的正、余弦值和正切值求出角的度数.第4课时　用计算器求锐角三角函数值01　　教学目标1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.02　　预习反馈阅读教材P67～68的内容，完成练习题.用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°)eq\x(＝)B.eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°)eq\x(sin)eq\x(＝)C.eq\x(2ndf)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°)eq\x(＝)D.eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°)eq\x(2ndf)eq\x(＝)03　　名校讲坛 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 1　用计算器求下列锐角的三角函数值例1　用计算器求下列锐角的三角函数值：(1)cos63°17′；(2)tan27.35°；(3)sin39°47′6″.【解答】　(1)0.44957885.　(2)0.517244127.(3)0.639908541.【点拨】　按键顺序：(1)按功能键eq\x(sin)或eq\x(cos)或eq\x(tan)；(2)输入角度值；(3)按eq\x(＝)键.【跟踪训练1】　四位学生用计算器求sin62°20′的值，正确的是(A)A.0.8857B.0.8856C.0.8852D.0.8851知识点2　已知锐角的三角函数值，用计算器求相应的锐角的度数例2　已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角A的度数：(1)sinA＝0.9816；(2)cosA＝0.8067；(3)tanA＝0.189.【解答】　(1)78.99184039°.(2)36.22524578°.(3)10.70265749°.【点拨】　先按eq\x(2ndF)键，然后再按eq\x(sin)或eq\x(cos)或eq\x(tan)键，再输入数值，得到的结果为度数的形式.若计算结果要求为度、分、秒的形式，则再继续按eq\x(2ndF)eq\x(°′″)键.【跟踪训练2】　已知cosθ＝0.7415926，则θ为(C)A.40°B.41°C.42°D.43°04　　巩固训练1.比较大小：sin46°27′>cos53°28′.2.根据所给条件求锐角α.(精确到1″)(1)已知sinα＝0.4771，求α；(2)已知cosα＝0.8451，求α；(3)已知tanα＝1.4106，求α.解：(1)sinα＝0.4771，α＝28.49°＝28°29′24″.(2)cosα＝0.8451，α＝32.31°＝32°18′36″.(3)tanα＝1.4106，α＝54.66°＝54°39′36″.3.如图，要焊接一个高3.5米，底角为32°的人字形钢架，约需多长的钢材(结果保留小数点后两位)?解：依题意可知，AC＝BC，AD＝BD.在Rt△CDA中，∵AC＝eq\f(CD,sin32°)＝eq\f(3.5,0.530)＝6.604，AD＝eq\f(CD,tan32°)＝eq\f(3.5,0.625)＝5.6，∴AC＋BC＋AD＋DB＋CD＝2AC＋2AD＋CD＝2×6.604＋2×≈27.91(米)..05　　课堂小结1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序.28.2　解直角三角形及其应用28.2.1　解直角三角形01　　教学目标1.掌握解直角三角形的根据.2.能由已知条件解直角三角形.02　　预习反馈阅读教材P72～73，自学“探究”、“例1”与“例2”，完成下列内容.(1)在直角三角形中，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.(2)如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：三边之间的关系a2＋b2＝c2；两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；边与角之间的关系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式∠A＋∠B＝90°求出∠B，用关系式sinA＝eq\f(a,c)求出a.03　　名校讲坛类型1　已知两边，解直角三角形例1　(教材例1变式)根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq\r(2)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq\r(3).【解答】　(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq\r(2)，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(2),2).∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°.∴AC＝BC＝3.(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq\r(3)，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\r(3)，AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝4eq\r(3).∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝30°.【点拨】已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c，a)①b＝eq\r(c2－a2)；②由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；③∠B＝90°－∠A.两直角边(如a，b)①c＝eq\r(a2＋b2)；②由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；③∠B＝90°－∠A.【跟踪训练1】　如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是eq\f(4,5).类型2　已知一边和一锐角，解直角三角形例2　(教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解这个直角三角形.【解答】　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°.又∵sinA＝eq\f(BC,AB)，∠A＝45°，AB＝10，∴BC＝5eq\r(2).∴AC＝BC＝5eq\r(2).例3　(教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.【解答】　∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.∵cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,cosA)＝eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(20\r(3),3).又∵tanA＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝AC·tanA＝10×tan30°＝10×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(10\r(3),3).【点拨】已知类型已知条件解法步骤一边和一锐角斜边和一锐角(如c，∠A)①∠B＝90°－∠A；②由sinA＝eq\f(a,c)，得a＝c·sinA；③由cosA＝eq\f(b,c)，得b＝c·cosA.一直角边和一锐角(如a，∠A)①∠B＝90°－∠A；②由tanA＝eq\f(a,b)，得b＝eq\f(a,tanA)；③由sinA＝eq\f(a,c)，得c＝eq\f(a,sinA).【跟踪训练2】　如图，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝eq\f(3,5)，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是14a2.04　　巩固训练1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq\f(1,2)，则BC的长是(A)A.2B.8C.2eq\r(5)D.4eq\r(5)2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(B)A.m·sinα米B.m·tanα米C.m·cosα米D.eq\f(m,tanα)米3.如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cosB＝eq\f(4,5)，则AC＝eq\f(15,4).4.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝4，则DE的值是8.5.如图，在△ABC中，AC＝8，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，求AB的长.解：过点C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝8×eq\f(1,2)＝4，AD＝AC·cos∠CAD＝8×cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).在Rt△BDC中，DB＝CD·tan∠BCD＝4×1＝4，∴AB＝BD＋DA＝4eq\r(3)＋4.05　　课堂小结本节学习的数学知识：解直角三角形.28.2.2　应用举例第1课时　与视角有关的解直角三角形应用题01　　教学目标1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.02　　名校讲坛例1　(教材例3变式)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为15cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝eq\f(3,5).(1)求点M离地面AC的高度BM；(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于49cm，求铁环钩MF的长度.【解答】　过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交点于H，N.(1)在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝15，HM＝OM·sinα＝9，∴OH＝12，MB＝HA＝15－12＝3。答：铁环钩离地面的高度为3cm.(2)∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，即∠FMN＝∠MOH＝α.∴eq\f(FN,FM)＝sinα＝eq\f(3,5).∴FN＝eq\f(3,5)FM.在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝49－9＝40.∵FM2＝FN2＋MN2，即FM2＝(eq\f(3,5)FM)2＋402，解得FM＝50.答：铁环钩的长度FM为50cm.【点拨】　步骤：(1)根据题意画出平面图形，再将所求问题转化为直角三角形问题；(2)利用直角三角形的边角关系与三角函数的有关知识解答.例2　(教材例4变式)如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树.在平台顶C点测得树顶A的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶点A的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)【解答】　过点C作CF⊥AB于点F，则四边形CDBF是矩形.则CF＝DB，FB＝CD＝4米.设AB＝x米，则AF＝AB－FB＝(x－4)米.在Rt△ACF中，CF＝eq\f(AF,tanα)＝eq\r(3)(x－4)米.∴DB＝eq\r(3)(x－4)米.在Rt△AEB中，EB＝eq\f(AB,tanβ)＝eq\f(\r(3),3)x米.∵DB－EB＝DE，∴eq\r(3)(x－4)－eq\f(\r(3),3)x＝3，解得x＝6＋eq\f(3,2)eq\r(3).答：树高AB是(6＋eq\f(3,2)eq\r(3))米.【跟踪训练】　如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是(D)A.200米B.200eq\r(3)米C.220eq\r(3)米D.100(eq\r(3)＋1)米03　　巩固训练1.如图，某同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度.他将30°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为10米，则旗杆AB的高度为(D)A.10eq\r(3)米B.(10eq\r(3)＋1.5)米C.eq\f(10\r(3),3)米D.(eq\f(10\r(3),3)＋1.5)米2.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据，可求观光塔的高CD是135m.3.如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)解：设楼EF的高为x米，可得EG＝EF－GF＝(x－1.5)米.依题意，得EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF(设垂足为G).在Rt△EGD中，DG＝eq\f(EG,tan∠EDG)＝eq\f(\r(3),3)(x－1.5)米.在Rt△EGB中，BG＝eq\r(3)(x－1.5)米，∴CA＝DB＝BG－DG＝eq\f(2\r(3),3)(x－1.5)米.∵CA＝12米，∴eq\f(2\r(3),3)(x－1.5)＝12，解得x＝6eq\r(3)≈11.9，则楼EF的高度约为.04　　课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：数形结合、数学建模的思想.第2课时　与方位角、坡度有关的解直角三角形应用题01　　教学目标1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度i＝eq\f(坡面的铅直高度,坡面的水平宽度)＝tan坡角.02　　预习反馈阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题，完成下列问题.(1)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解直角三角形的问题；b.根据条件的特点，适当地选用锐角三角函数等去解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.最后得到实际问题的答案.(2)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的北偏东40°方向.03　　名校讲坛类型1　方位角问题例1　如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【解答】　过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.【点拨】　应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.【跟踪训练1】　如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：过点P作PC⊥AB，点C是垂足.则∠APC＝30°，∠BPC＝45°.AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即eq\f(\r(3),3)PC＋PC＝200，(eq\f(\r(3),3)＋1)PC＝200.∴PC＝eq\f(3,3＋\r(3))×200＝eq\f(3（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)×200＝100(3－eq\r(3))≈100×(3－1.732)≈126.8＞100.答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.【点拨】　解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.类型2　坡度、坡角问题例2　如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1m)【解答】　过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3××23＝57.5(m).∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝eq\f(1,3)≈0.3333，∴eq\f(BE,AE)＝0.3333，即tanα＝0.3333.∴α≈18°26′.∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)≈eq\f(23,0.3162)≈72.7(m).答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.【点拨】　这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.【跟踪训练2】　如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.解：作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝400米，∴DF＝CD·sin30°＝eq\f(1,2)×400＝200(米)，CF＝CD·cos30°＝eq\f(\r(3),2)×400＝200eq\r(3)(米).在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x米，∴AE＝tan60°·x＝eq\r(3)x(米).在矩形DEBF中，BE＝DF＝200米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC，即eq\r(3)x＋200＝200eq\r(3)＋x.∴x＝200.∴AB＝AE＋BE＝(200eq\r(3)＋200)米.04　　巩固训练1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是(C)A.50eq\r(3)mB.100eq\r(3)mC.100mD.150m2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是(C)A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(A)A.40eq\r(2)海里B.40eq\r(3)海里C.80海里D.40eq\r(6)海里4.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是3eq\r(5)米.5.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，根据图中数据，可求出坝底宽AD为(7.5＋4eq\r(3))m.(i＝CE∶ED，单位：m)6.甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变.求：(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲轮船后来的速度.解：(1)作BD⊥AC于点D.由题意可知，AB＝30×1＝30(海里)，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.在Rt△ABD中，∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，∴BD＝15海里，AD＝ABcos30°＝15eq\r(3)(海里).在Rt△BCD中.∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，∴CD＝15海里，BC＝15eq\r(2)海里.∴AC＝AD＋CD＝(15eq\r(3)＋15)海里，即A，C间的距离为(15eq\r(3)＋15)海里.(2)∵AC＝(15eq\r(3)＋15)海里.∴轮船乙从A到C的时间为eq\f(15＋15\r(3),15)＝1＋eq\r(3).由B到C的时间为1＋eq\r(3)－1＝eq\r(3).∵BC＝15eq\r(2)海里，∴轮船甲从B到C的速度为eq\f(15\r(2),\r(3))＝5eq\r(6)(海里/小时).答：甲轮船后来的速度为5eq\r(6)海里/小时.05　　课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.