中考数学二次函数动点问题-由面积产生的函数关系问题

---来源搜集，文内均可编辑---来源搜集，文内均可编辑PAGE12---来源搜集，文内均可编辑由面积产生的函数关系问题例12013年菏泽市中考第21题如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来．3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．满分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．（2）①设点P、Q运动的时间为t．如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．当PQ⊥AC时，．所以．解得．图2图3②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S△APQ＝，S△ACD＝，所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．这时，所以．解得（如图4所示）．图4例22012年广东省中考第22题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．思路点拨1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．所以．而，AE＝m，所以．m的取值范围是0＜m＜9．图2图3（3）如图2，因为DE//CB，所以．因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．所以．当时，△CDE的面积最大，最大值为．此时E是AB的中点，．如图3，作EH⊥CB，垂足为H．在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．在Rt△BEH中，．当⊙E与BC相切时，．所以．考点伸展在本题中，△CDE与△BEC能否相似？如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．例32012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．图3图4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝，S△CBD＝．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．例42011年淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大最大面积是多少图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．（2）①如图1，当时，．所以．②如图2，当时，，，．于是，．所以．③如图3，当时，，，．所以．图2图3图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．图5图6图7考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，，，由，得．如图9，当G落在AC上时，，，由，得．图8图9例52011年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大最大值是多少图1动感体验请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成．请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．点击按钮“函数表达式”，S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22.思路点拨1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为．（2）①当M在OC上，Q在AB上时，．在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．于是．因此．②当M在OC上，Q在BC上时，．因为，所以．因此．③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得．因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．所以．图2图3图4（3）①当时，．因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，所以当时，S最大，最大值为．②当时，．因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．③当时，．因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．综上所述，当时，S最大，最大值为．考点伸展第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？此时，．因此．图5例62011年重庆市中考第26题如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形思路点拨1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．4．本题运算量很大，多用到1∶2∶，注意对应关系不要错乱．满分解答（1）在Rt△ABC中，，所以∠BAC＝30°．如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=，所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1．图2（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，．②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，．③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，．④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，．图3图4图5（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO．在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．△AEH的形状保持不变，AH＝AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．图6图7图8①当AO＝AH时，解，得（如图7）；解，得（如图8）．②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝AH＝3AE．解，得t＝2（如图10）；解，得t＝4（如图11）．图9图10图11考点伸展图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．